Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Déterminer l’Aire Délimitée par Deux Fonctions Linéaires et une Fonction Réciproque Impliquant la Division de la Zone d’Intégration Mathématiques

Considérons la zone du premier quadrant entourée par les courbes 𝑦 = 4 / 𝑥, 𝑦 = 𝑥 et 𝑦 = 𝑥 / 4. Trouvez l’aire de cette zone.

09:00

Transcription de vidéo

Considérons la zone dans le premier quadrant entouré par les courbes 𝑦 est égal à quatre sur 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑥 sur quatre. Trouvez l’aire de cette zone.

Dans cette question, nous devons déterminer l’aire d’une zone entourée de trois courbes données, la courbe 𝑦 est égale à quatre sur 𝑥 et les droites 𝑦 est égale à 𝑥 et 𝑦 est égale à 𝑥 sur quatre. Et chaque fois qu’on nous demande de trouver l’aire d’une zone entourée de courbes, c’est toujours une bonne idée d’esquisser les courbes données. Cela nous permettra ensuite de voir la zone dont nous avons besoin pour trouver l’aire. Commençons par esquisser les deux droites, 𝑦 est égal à 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑥 sur quatre. Les deux sont donnés sous forme classique, et nous pouvons voir que les ordonnées à l’origine sont nulles. Et la pente de 𝑦 est égale à 𝑥 est un, et la pente de 𝑦 est égale à 𝑥 sur quatre est un quart. Nous pouvons donc esquisser les deux droites comme indiqué.

Maintenant, sur le même axe de coordonnées, nous devons esquisser la courbe 𝑦 est égale à quatre sur 𝑥. Et nous pouvons voir que c’est la fonction réciproque un sur 𝑥 multiplié par quatre. Donc, cela aura la forme d’une courbe réciproque. L’ajout de cela à notre diagramme nous donne une forme qui ressemble à ce qui suit. Et rappelez-vous, l’aire de la zone que nous devons déterminer n’est que dans le premier quadrant. Nous pouvons donc ajouter cette zone sur notre diagramme comme indiqué.

Pour nous aider à évaluer cette intégrale, nous devons rappeler l’un de nos résultats en matière d’intégrale. Si nous avons deux fonctions intégrables, 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, où 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏, alors l’aire de la zone entourée par les courbes 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥 et les droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 est donnée par l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous voulons appliquer cela pour trouver l’aire de la zone dans notre diagramme. Cependant, il y a un petit problème. Nous pouvons voir que nous avons trois fonctions, nous allons donc devoir diviser notre zone en deux. Nous pouvons diviser notre zone en deux parties: une où la limite supérieure est 𝑦 égale 𝑥 et une où la limite supérieure est 𝑦 égale quatre sur 𝑥. Nous pouvons alors trouver l’aire des deux parties de cette zone en utilisant notre résultat intégral, où il est important de noter que nous savons que toutes les fonctions sont intégrables dans le premier quadrant. Cela signifie que 𝑥 est supérieur à zéro puisque les trois fonctions sont continues pour des valeurs positives de 𝑥.

Par conséquent, trouvons l’aire de chaque zone séparément. Commençons par la partie gauche de la zone. La partie supérieure de cette zone est la droite 𝑦 est égale à 𝑥, et la partie inférieure de cette zone est 𝑦 est égal à 𝑥 sur quatre. Ce seront nos fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. Ensuite, pour appliquer ce résultat, nous devons trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Nous pouvons voir la valeur de 𝑎 directement sur la figure. Les deux droites se croisent lorsque 𝑥 est égal à zéro à l’origine, donc notre valeur de 𝑎 est nulle. Cependant, pour trouver la valeur de 𝑏, nous allons devoir trouver la coordonnée 𝑥 du point d’intersection entre la droite 𝑦 est égale à 𝑥 et la courbe 𝑦 est égale à quatre sur 𝑥. Et nous pouvons le faire en définissant les deux fonctions égales. Nous devons résoudre 𝑥 est égal à quatre sur 𝑥.

Nous pouvons résoudre cette équation en multipliant d’abord par 𝑥. Nous obtenons 𝑥 au carré est égal à quatre. Et maintenant, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation, où nous notons que nous aurons une racine positive et une racine négative. 𝑥 est égal à deux ou moins deux. Et nous pouvons voir sur la figure ce que chacune de ces solutions représente. 𝑥 est moins deux est le point d’intersection le plus à gauche entre la droite et la courbe. Et 𝑥 est égal à plus deux est l’intersection la plus à droite. Puisque nous ne travaillons que dans le premier quadrant, nous ne sommes intéressés que par la valeur la plus à droite. Donc, notre valeur de 𝑏 est deux.

Nous pouvons maintenant substituer tout cela dans notre résultat intégral pour trouver l’aire de la zone la plus à gauche. C’est l’intégrale de zéro à deux de 𝑥 moins 𝑥 sur quatre par rapport à 𝑥. Nous pouvons maintenant évaluer cette expression. Cependant, nous devons également ajouter l’aire de la deuxième zone. Alors trouvons une expression pour cette zone. Cette fois, la zone est délimitée ci-dessus par la courbe 𝑦 est égale à quatre sur 𝑥 et ci-dessous par la droite 𝑦 est égale à 𝑥 sur quatre. Nous avons déjà trouvé la valeur de 𝑎. Dans ce cas, notre valeur de 𝑎 est deux. Nous devons maintenant trouver la valeur de 𝑏, et ce sera le point d’intersection entre la courbe 𝑦 est égale à quatre sur 𝑥 et la droite 𝑦 est égale à 𝑥 sur quatre. Et nous pouvons trouver cette valeur de la même manière que nous l’avions fait auparavant. Nous devons résoudre les fonctions égales les unes aux autres. Nous devons résoudre l’équation 𝑥 sur quatre est égal à quatre sur 𝑥.

Tout d’abord, nous allons multiplier les deux côtés de l’équation par quatre 𝑥. Cela nous donne que 𝑥 au carré est égal à 16. Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation, où nous obtenons une racine positive et une racine négative. 𝑥 est égal à quatre ou moins quatre. Il y a donc deux points d’intersection entre cette droite et cette courbe: un lorsque 𝑥 égale moins quatre et un lorsque 𝑥 égale plus quatre. Et nous travaillons dans le premier quadrant, donc nos valeurs de 𝑥 sont positives. Notre valeur de 𝑏 est quatre. Nous pouvons maintenant substituer tout cela dans notre résultat intégral pour trouver l’aire de la partie la plus à droite de la zone. C’est l’intégrale de deux à quatre ou quatre sur 𝑥 moins 𝑥 sur quatre par rapport à 𝑥. Et maintenant, la somme de ces deux aires sera l’aire de la zone qu’on nous demande de déterminer.

Tout ce qui reste à faire maintenant est d’évaluer ces deux intégrales. Premièrement, nous pouvons simplifier l’intégrale la plus à gauche pour donner trois 𝑥 sur quatre. Nous pouvons maintenant évaluer ces deux intégrales en rappelant deux résultats sur les intégrales. Premièrement, la règle de puissance pour l’intégration nous dit que pour toutes les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, où 𝑛 n’est pas égal à moins un, l’intégrale de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛-ième par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus la constante d’intégration 𝐶. Nous ajoutons un à l’exposant 𝑥, puis divisons par ce nouvel exposant. Deuxièmement, nous pouvons également rappeler pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale de 𝑎 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶.

Nous pouvons utiliser ces deux résultats pour évaluer ces deux intégrales. Commençons par notre première intégrale. Nous devons ajouter un à l’exposant 𝑥 et diviser par ce nouvel exposant. Ajouter un à l’exposant 𝑥 nous donne un nouvel exposant de deux. Et puis on divise par deux pour obtenir trois 𝑥 au carré divisé par quatre fois deux, soit huit. Dans notre deuxième intégrale, nous intégrons quatre sur 𝑥 par rapport à 𝑥 pour obtenir quatre fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. Et pour intégrer moins 𝑥 sur quatre, nous ajoutons un à l’exposant 𝑥 pour obtenir 𝑥 au carré et divisons par ce nouvel exposant. Nous obtenons moins 𝑥 au carré sur huit.

Il ne reste plus qu’à évaluer les primitives aux limites de l’intégration. Dans notre première primitive, nous pouvons voir que la limite inférieure de l’intégration est zéro. Et lorsque nous substituons cela à notre primitive, nous obtenons zéro. Il suffit donc de remplacer la limite supérieure de l’intégration. Nous obtenons trois fois deux au carré sur huit. La même chose n’est pas vraie dans le deuxième cas. Nous devons remplacer la limite supérieure de l’intégration dans notre primitive. Et puis nous devons en soustraire la limite inférieure d’intégration substituée dans notre primitive. Cela nous donne l’expression suivante pour l’aire.

Maintenant, il ne reste plus qu’à évaluer cette expression. Premièrement, trois fois deux au carré sur huit fait 12 sur huit. Ensuite, moins quatre au carré sur huit est moins 16 sur huit. Et troisièmement, moins deux au carré sur huit est moins quatre sur huit. Mais rappelez-vous, nous soustrayons ce terme, nous devons donc ajouter quatre sur huit. Nous pouvons alors voir que 12 sur huit moins 16 sur huit plus quatre sur huit est égal à zéro. Nous nous retrouvons donc avec les deux termes quatre fois le logarithme népérien de la valeur absolue de quatre moins quatre fois le logarithme népérien de la valeur absolue de deux. Et nous pouvons simplifier davantage. Nous savons que la valeur absolue d’un nombre positif ne change pas sa valeur, et que quatre et deux sont positifs. Nous pouvons donc simplement supprimer le symbole de la valeur absolue.

Ensuite, nous allons réécrire le logarithme népérien de quatre en utilisant la règle de puissance pour les logarithmes. Pour ce faire, nous devons réécrire quatre en deux au carré. Cela nous permet alors de mettre l’exposant en dehors du logarithme comme un multiplicateur en utilisant la règle du logarithme mentionnée ci-dessus. Cela nous donne huit fois le logarithme népérien de deux moins quatre fois le logarithme népérien de deux, ce qui simplifie pour nous donner quatre fois le logarithme népérien de deux, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer l’aire de la zone dans le premier quadrant entouré par les courbes 𝑦 est égal à quatre sur 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑥 sur quatre est quatre fois le logarithme népérien de deux.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.