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Vidéo de question : Étude de l’équilibre d’un corps placé sur un plan incliné lisse et attaché à une corde inclinée Mathématiques

Un objet pesant 85 N est placé sur un plan lisse incliné à 45° par rapport à l’horizontale. L’objet est tenu en équilibre par une chaîne inextensible fixée à un point d’un mur vertical au sommet de la pente. Sachant que la tension sur la chaîne est d’intensité 62 N, détermine la mesure de l’angle 𝜃 formé par la chaîne avec l’horizontale en arrondissant à la minute d’arc près. Déterminez aussi l’intensité de la réaction 𝑅 du plan sur l’objet, en arrondissant au centième près.

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Transcription de vidéo

Un objet pesant 85 N est placé sur un plan lisse incliné à 45° par rapport à l’horizontale. L’objet est tenu en équilibre par une chaîne inextensible fixée à un point d’un mur vertical au sommet de la pente. Sachant que la tension sur la chaîne est d’intensité 62 N, déterminez la mesure de l’angle 𝜃 formé par la chaîne avec l’horizontale en arrondissant à la minute d’arc près. Détermine aussi l’intensité de la réaction 𝑅 du plan sur l’objet, en arrondissant au centième près.

Nous pouvons voir sur la figure que nous avons un corps de poids 85 newtons posé sur un plan incliné faisant un angle de 45 degrés avec l’horizontale. Le corps est maintenu en équilibre par une corde ayant une tension de 62 newtons. Et on nous dit que cette corde fait un angle de 𝜃 degrés avec l’horizontale. La force de réaction 𝑅 agit perpendiculairement au plan.

Nous avons donc trois forces agissant en un point. Et nous pouvons calculer les inconnues en utilisant d’abord le théorème de Lami. Ce théorème dit que lorsque trois forces agissant en un point sont en équilibre, alors chaque force est proportionnelle au sinus de l’angle entre les deux autres forces. Si les trois forces sont 𝐴, 𝐵 et 𝐶, alors 𝐴 sur sinus 𝛼 est égale à 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égale à 𝐶 sur sinus 𝛾, où 𝛼 est l’angle entre les forces 𝐵 et 𝐶. 𝛽 est l’angle entre les forces 𝐴 et 𝐶. Et 𝛾 est l’angle entre les forces 𝐴 et 𝐵. Dans cette question, nous allons définir les angles 𝛼, 𝛽 et 𝛾 comme indiqué.

Rappelons que le but de cette question est de déterminer l’angle 𝜃 et la force de réaction 𝑅, faisons maintenant un peu de place pour travailler. L’angle 𝛽 entre la force de réaction et la force de 85 newtons vaut 90 degrés plus 45 degrés. Cela est égal à 135 degrés. En ajoutant cela sur le schéma, nous pouvons maintenant remplacer cet angle ainsi que les trois forces dans le théorème de Lami. Nous avons 𝑅 sur sinus 𝛼 égal à 62 sur sinus 135 degrés, ce qui est égal à 85 sur sinus 𝛾. Nous avons deux inconnues dans la première expression. Nous allons donc utiliser la deuxième et la troisième expression pour calculer l’angle 𝛾.

En prenant l’inverse de ces deux fractions, nous avons sinus 𝛾 sur 85 égal à sinus 135 degrés sur 62. Nous pouvons alors multiplier par 85. sinus 𝛾 est donc égal à 0,9694 etc. Ensuite, nous calculons le sinus moins un des deux côtés de cette équation. Cela nous donne 𝛾 égal à 75,79 etc degrés. Pour plus de précision, à ce stade, nous n’allons pas arrondir les résultats. Nous pouvons utiliser le fait que 𝛼, 𝛽 et 𝛾 font au total 360 degrés pour calculer l’angle 𝛼. Il faut soustraire 135 degrés et 75,79 degrés de 360 degrés. Cela nous donne 𝛼 égal à 149,20 etc degrés.

Nous pouvons maintenant calculer la valeur de l’angle 𝜃. Rappelons qu’il s’agit de l’angle entre la corde et l’horizontale. 𝜃 est donc égal à 149,20 etc… moins 90 degrés. En utilisant le résultat plus précis donné par la calculatrice, nous avons 𝜃 égal à 59,20578 etc degrés. On nous demande de donner la réponse en degrés et minutes. Nous pouvons le faire soit en multipliant la partie décimale du résultat par 60, soit en utilisant les touches degrés, minutes et secondes de la calculatrice. Dans les deux cas, nous obtenons un résultat de 59 degrés et 12 minutes en arrondissant à la minute. La mesure de l’angle entre la corde et l’horizontale est de 59 degrés et 12 minutes.

Comme nous connaissons maintenant la valeur de l’angle 𝛼, nous pouvons revenir au théorème de Lami pour calculer la force de réaction 𝑅. Encore une fois, nous allons utiliser le résultat exact. Nous avons 𝑅 sur sinus 149,20 etc degrés, qui est égal à 62 sur sinus de 135 degrés. En multipliant par le sinus de l’angle 𝛼, nous obtenons 𝑅 égal à 44,8889 etc. On nous demande de donner le résultat au centième près. C’est donc 44,89. La valeur de la réaction 𝑅 du plan sur l’objet est de 44,89 newtons.

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