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Vidéo de la leçon : Méthode des trois forces concourantes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces en utilisant la méthode des trois forces concourantes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces en utilisant la méthode des trois forces concourantes. Vous avez déjà probablement beaucoup travaillé sur des systèmes de forces en utilisant le théorème de Pythagore et la trigonométrie pour trouver l’intensité et le sens de ces forces, ainsi que pour déterminer leurs composantes. Vous vous souvenez peut-être qu’une particule est en équilibre si la somme vectorielle des forces agissant sur elle, c’est-à-dire leur résultante, est nulle. Nous allons ici nous intéresser à ce qui se passe quand exactement trois forces agissent en un point.

Le point essentiel à retenir ici est que lorsque trois forces coplanaires, c’est-à-dire trois forces appartenant au même plan, agissent sur une particule qui est en équilibre, leurs intensités et directions peuvent être représentées par les côtés adjacents d’un triangle. Une fois que les trois forces sont représentées par un triangle, on peut utiliser les propriétés des triangles telles que la trigonométrie et les propriétés des triangles semblables pour résoudre des problèmes impliquant ces forces. Imaginons par exemple que trois forces 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois agissent en un point comme illustré. Nous pouvons les représenter autrement en utilisant un triangle, en se rappelant de prendre en compte le sens de chaque force. On commence par représenter la force 𝐹 un comme le premier côté de notre triangle.

On passe ensuite à la force 𝐹 deux. Elle part de l’extrémité de 𝐹 un mais garde sa direction et son sens On répète enfin cela avec la troisième force, 𝐹 trois. Cette fois, elle part de l’extrémité de 𝐹 deux et garde la même direction et le même sens que dans le premier schéma. Et voilà, nous avons ainsi un triangle de forces. Nous allons maintenant voir comment résoudre des problèmes en utilisant cette méthode des trois forces concourantes.

Trois forces coplanaires 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois agissent sur un corps en équilibre. Leur triangle de forces forme un triangle rectangle comme illustré. Sachant que 𝐹 un est égale à cinq newtons et que 𝐹 deux est égale à 13 newtons, calculez l’intensité de 𝐹 trois.

On rappelle que lorsque trois forces coplanaires agissent sur une particule qui est en équilibre, elles peuvent être représentées par les côtés adjacents d’un triangle. Le triangle de forces est ici dessiné pour nous et nous connaissons l’intensité de deux des forces. 𝐹 un est égale à cinq newtons et 𝐹 deux est égale à 13 newtons. Et ce triangle représente les intensités de chacune des forces. Comme elles forment un triangle rectangle, nous pouvons calculer l’intensité de la troisième force en utilisant le théorème de Pythagore. Il stipule que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Si on désigne l’hypoténuse par 𝑐, alors 𝑎 au carré plus b au carré égale 𝑐 au carré.

Dans ce cas, le côté le plus long de notre triangle est le côté représentant la force de 13 newtons. En utilisant les intensités fournies et en désignant l’intensité de 𝐹 trois par 𝑏 newtons, on a cinq au carré plus 𝑏 au carré égale 13 au carré. C’est-à-dire, 25 plus 𝑏 au carré égale 169. En soustrayant 25 aux deux membres de cette équation, on obtient 𝑏 au carré égale 144. Pour calculer 𝑏, il nous suffit maintenant de prendre la racine carrée des deux membres de cette équation. On conserve généralement la racine carrée positive et la racine carrée négative de 144. Mais puisque cela représente une intensité, nous savons qu’elle doit être positive. Et donc 𝑏 égale racine carrée de 144, soit 12. Sachant que 𝐹 un est égale à cinq newtons et que 𝐹 deux est égale à 13 newtons, nous pouvons donc conclure que l’intensité de 𝐹 trois est de 12 newtons.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment former un triangle de forces à partir de trois forces coplanaires agissant en un point.

Sur la figure ci-dessous, trois forces d’intensité 𝐹 un, 𝐹 deux et 𝐹 trois newtons agissent en un point. Les droites d’action des forces sont parallèles aux côtés du triangle rectangle. Sachant que le système est en équilibre, calculez le rapport 𝐹 un à 𝐹 deux à 𝐹 trois.

Nous savons que lorsque trois forces coplanaires agissent sur une particule qui est en équilibre, elles peuvent être représentées par les côtés adjacents d’un triangle. Nous allons donc commencer par représenter les trois forces de cette question par un triangle. On les trace ici dans l’ordre, donc on commence par la force 𝐹 un. 𝐹 deux est ensuite perpendiculaire à 𝐹 un. On peut ajouter cette force à notre schéma, en rappelant qu’elle doit partir de l’extrémité de 𝐹 un. On ajoute enfin 𝐹 trois en commençant à l’extrémité de 𝐹 deux pour compléter notre triangle. C’est un triangle rectangle puisque 𝐹 un et 𝐹 deux sont perpendiculaires.

On peux également remarquer que la force 𝐹 un est parallèle au côté du triangle d’origine mesurant 87 centimètres. 𝐹 deux est parallèle au côté de longueur 208,8 centimètres. Et 𝐹 trois est parallèle à ce côté ici. On en déduit que les deux triangles, c’est-à-dire le triangle des forces et celui dont nous connaissons les dimensions, doivent être semblables. Ils sont proportionnels l’un à l’autre. Les intensités des forces du triangle des forces doivent donc être proportionnelles aux longueurs des côtés correspondants du triangle d’origine.

Pour trouver le rapport 𝐹 un à 𝐹 deux à 𝐹 trois, nous allons donc déterminer le rapport des longueurs de côté dans ce triangle. Commençons par calculer la longueur du troisième côté. On la désigne par 𝑥 centimètres. Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la valeur de 𝑥. Pour un triangle rectangle dont le côté le plus long mesure 𝑐 unités, le théorème de Pythagore stipule que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Dans ce cas, l’hypoténuse mesure 𝑥 centimètres. D’après le théorème de Pythagore, on a donc 87 au carré plus 208,8 au carré égale 𝑥 au carré. En évaluant le membre gauche de cette équation, on trouve qu’il est égal à 51 166,44. Pour trouver la valeur de 𝑥, on prend la racine carrée des deux membres. La racine carrée de 51 166,44 est 226,2. Donc la longueur du troisième côté du triangle est de 226,2 centimètres.

Rappelez-vous cependant que nous essayons de trouver le rapport des forces 𝐹 un à 𝐹 deux à 𝐹 trois. Et nous avons dit qu’il est équivalent au rapport des côtés correspondants. En les listant dans le bon ordre, on trouve que le rapport 𝐹 un à 𝐹 deux à 𝐹 trois équivaut à 87 à 208,8 à 226,2. On divise ensuite chacun de ces nombres par un diviseur commun assez inhabituel de 17,4 et on obtient cinq à 12 à 13. On aurait également pu calculer 87 divisé par 226,2 et 208,8 divisé par 226,2, et on aurait trouvé cinq sur 13 et douze sur 13. Le rapport 𝐹 un à 𝐹 deux à 𝐹 trois est par conséquent cinq à 12 à 13.

Cet exemple était accompagné d’un schéma sur lequel nous avons basé notre raisonnement. Dans le prochain exemple, nous allons devoir dessiner entièrement le triangle des forces.

Un corps est sous l’action de trois forces d’intensité 𝐹 un, 𝐹 deux et 36 newtons, agissant respectivement dans le sens des segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶, où le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝐴𝐵 égale quatre centimètres, 𝐵𝐶 égale six centimètres et 𝐴𝐶 égale six centimètres. Sachant que le système est en équilibre, calculez 𝐹 un et 𝐹 deux.

Nous savons que lorsque trois forces coplanaires agissent sur une particule qui est en équilibre, elles peuvent être représentées par les côtés adjacents d’un triangle. Nous allons donc représenter les trois forces données à l’aide d’un triangle. Mais nous savons seulement qu’elles agissent dans les directions des côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶. Nous allons donc d’abord tracer le triangle 𝐴𝐵𝐶. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 ressemble à peu près à ceci et nous remarquons que les côtés 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶 mesurent tous les deux six centimètres. Donc, c’est en fait un triangle isocèle.

Nous allons maintenant utiliser ce triangle pour dessiner un triangle de forces représentant 𝐹 un, 𝐹 deux et la force de 36 newtons. La force d’intensité 𝐹 un newtons agit dans la direction du segment 𝐴𝐵. La force d’intensité 𝐹 deux agit ensuite dans la direction du segment 𝐵𝐶. Remarquez que la force d’intensité 𝐹 deux part de l’extrémité de la force précédente. Et nous devons donc faire partir la troisième force de l’extrémité de 𝐹 deux. Mais il est indiqué que cette force de 36 newtons agit dans le sens du segment 𝐴𝐶, et non du segment CA. Cependant, comme nous savons que l’intensité de cette force est de 36 newtons, nous pouvons tout de même l’indiquer ici. Si nous étudiions le sens de la force, nous devrions supposer qu’il s’agit du sens opposé à la force d’origine. Mais pour les intensités qui ne représentent que la longueur, cela ne pose pas de problème.

Nous sommes maintenant prêts à comparer nos triangles. Puisque chacune des forces agit parallèlement à chaque côté du triangle 𝐴𝐵𝐶, les deux triangles doivent être semblables. Et nous pouvons donc dire que les intensités de chacune des forces doivent être proportionnelles aux longueurs des côtés correspondants du triangle 𝐴𝐵𝐶. Cela nous permet de calculer l’intensité de la force 𝐹 deux très facilement. Les côtés 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶 sont de même longueur. Donc, cette force et cette force doivent être de même intensité. Et 𝐹 deux doit par conséquent être égale à 36 newtons. Il y a ensuite deux façons différentes de calculer l’intensité de 𝐹 un.

La première consiste à dire que le rapport de la longueur 𝐴𝐵 à la longueur 𝐴𝐶 est égal au rapport de l’intensité 𝐹 un à l’intensité de 36 newtons. En d’autres termes, quatre sur six doit être égal à 𝐹 un sur 36. Bien que l’on puisse simplifier la fraction quatre sur six, cela n’est pas nécessaire car on multiplie les deux membres de cette équation par 36. On remarque ensuite que 36 et six ont un diviseur commun de six. Donc, 𝐹 un est égal à six fois quatre sur un, ce qui fait simplement 24. Par conséquent, 𝐹 un est d’intensité 24 newtons. L’autre façon de calculer F un est d’utiliser un facteur d’échelle.

Puisque les deux triangles sont semblables, on peut en déduire que l’un est un agrandissement, ou une dilatation, de l’autre. Et le facteur d’échelle de cet agrandissement est égal à 36, c’est-à-dire une des dimensions du triangle des forces, divisée par six, la dimension correspondante du triangle 𝐴𝐵𝐶. 36 divisé par six égale six. On peut donc transformer n’importe quelle mesure du triangle 𝐴𝐵𝐶 dans une mesure du triangle des forces en la multipliant par six. Cela signifie que 𝐹 un est égal à quatre fois six, ce qui donne à nouveau 24. Par conséquent, 𝐹 un est d’intensité 24 newtons et 𝐹 deux est d’intensité 36 newtons.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser une technique similaire pour résoudre un problème impliquant une tension.

Une barre homogène de longueur 50 centimètres et de poids 143 newtons est suspendue par ses extrémités au plafond par deux cordes perpendiculaires attachées à un même point du plafond. Sachant que la longueur d’une des cordes est de 30 centimètres, calculez la tension dans chaque corde.

Nous allons commencer par dessiner un schéma représentant la barre et les forces agissant sur elle. On appelle les extrémités de la barre 𝐴 et 𝐵. Notre barre est donc suspendue à deux cordes perpendiculaires, dont l’une mesure 30 centimètres. Et nous pouvons en fait calculer la longueur de la deuxième corde. Elle mesure 40 centimètres. On peut en effet la calculer en utilisant le théorème de Pythagore ou en reconnaissant simplement qu’il s’agit d’un triangle rectangle de type trois, quatre, cinq. Comme la barre est homogène, on peut considérer que la force vers le bas de son poids agit en un point exactement au milieu de la barre. Maintenant, puisque la barre exerce une force vers le bas sur les cordes, elle provoque une force de réaction de tension opposée. Appelons-les 𝑇 𝐴 pour la force de tension dans la première corde et 𝑇 𝐵 pour la force de tension dans la seconde.

Nous avons maintenant un schéma représentant le problème mais nous avons encore beaucoup à faire. Alors, comment pouvons-nous simplifier davantage ? Bien, on sait que lorsque trois forces coplanaires agissent sur une particule qui est en équilibre, elles peuvent être représentées par les côtés adjacents d’un triangle. 𝑇 𝐴 et 𝑇 𝐵 seront perpendiculaires puisque cordes le long desquelles elles agissent sont également perpendiculaires. Et avec un peu d’observation, on peut en réalité voir que ce sont des triangles semblables. On définit l’angle entre la barre et la corde de 30 centimètres par 𝑥 degrés. Il est égal à l’angle entre la force de 143 newtons et la force de tension en 𝐵.

Ce n’est pas extrêmement intuitif, mais nous pouvons nous convaincre que cela est vrai en ajoutant une droite parallèle à la force de 143 newtons sur le premier schéma, puis en utilisant la propriété selon laquelle la somme des angles dans un triangle est égale à 180 degrés. Puisque les angles du triangle des forces et les angles du triangle représentant le système sont égaux, ces triangles sont semblables. Et on peut donc utiliser un facteur d’échelle ou des rapports pour trouver les intensités de 𝑇 A et de 𝑇 B. Considérons le rapport de 𝑇 𝐴 à 143. Il doit être égal au rapport de la longueur de 40 centimètres à la longueur de 50 centimètres. Et nous avons choisi ces paires de côtés dans nos deux schémas parce que nous nous intéressons aux paires de côtés adjacents à l’angle mesurant 90 moins 𝑥 degrés.

En multipliant les deux membres de cette équation par 143, on obtient 𝑇 𝐴 égale 40 sur 50, ou quatre sur cinq, fois 143, soit 114,4. L’intensité de 𝑇 A est donc de 114,4 newtons. De la même manière, le rapport de 𝑇 𝐵 à 143 newtons est égal au rapport de la longueur de 30 centimètres à la longueur de 50 centimètres. Pour calculer 𝑇 𝐵, on multiplie à nouveau par 143, ce qui nous donne 85,8 newtons. Les forces de tension dans chaque corde sont d’intensité 85,8 newtons et 114,4 newtons.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Nous avons vu que lorsque trois forces coplanaires agissent en une particule qui est en équilibre, elles peuvent être représentées en intensité et en direction par les côtés adjacents d’un triangle. Une fois que ce triangle de forces est tracé, on peut résoudre des problèmes à l’aide de la similitude, du théorème de Pythagore et même de la trigonométrie.

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