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Vidéo de question : Exprimer un vecteur sous forme de composantes Mathématiques

Considérez le vecteur 𝐕 de norme 3 formant un angle de 45 ° au-dessus de l’axe des 𝑥. En utilisant la trigonométrie, calculez les composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur, puis, écrivez 𝐕 sous la forme ⟨𝑥, 𝑦⟩. Arrondissez votre réponse à trois chiffres significatifs.

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Transcription de vidéo

Considérez le vecteur 𝐕 de norme 3 formant un angle de 45 ° au-dessus de l’axe des 𝑥. En utilisant la trigonométrie, calculez les composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur, puis, écrivez le vecteur 𝐕 sous la forme 𝑥, 𝑦. Arrondissez votre réponse à trois chiffres significatifs.

En regardant la figure, nous voyons que le vecteur 𝐕 commence à l’origine et se termine au point bleu. Nous voulons écrire le vecteur 𝐕 sous la forme 𝑥, 𝑦, en d’autres termes, nous voulons trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce point. On nous dit dans la question que le module, ou la norme, du vecteur est égal à trois et que l’angle que le vecteur forme avec l’axe des 𝑥 positifs dans le sens trigonométrique est de 45 degrés. Afin de calculer les composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur, on nous dit d’utiliser la trigonométrie. Nous pouvons commencer par créer un triangle rectangle comme indiqué. La composante 𝑥 sera égale à la distance horizontale le long de l’axe des 𝑥. La composante 𝑦 sera égale à la hauteur verticale du triangle. L’hypoténuse du triangle aura une longueur de trois, soit la norme du vecteur 𝐕.

Nous pouvons maintenant utiliser nos connaissances sur les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles pour calculer les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Ceux-ci peuvent être rappelés en utilisant l’acronyme SOH CAH TOA. Le côté marqué 𝑦 est opposé à notre angle donné de 45 degrés. Le côté marqué 𝑥 est adjacent, ou à côté, de l’angle de 45 degrés et de l’angle droit. Le rapport sinus nous indique que sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. En substituant les valeurs, nous avons sinus de 45 degrés est égal à 𝑦 sur trois. 45 degrés est l’un des angles standards pour lequel nous devons connaître les rapports trigonométriques et sinus de 45 degrés est égal à la racine de deux sur deux. En multipliant par trois, nous voyons que 𝑦 est égal à trois racine de deux sur deux.

On nous demande de donner notre réponse avec trois chiffres significatifs. Ainsi, taper ceci dans notre calculatrice nous donne 𝑦 est égal à 2,1213 etc. Avec trois chiffres significatifs, cela équivaut à 2,12.

Le rapport cosinus nous indique que le cosinus de l’angle 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Cette fois, nous avons le cosinus de 45 degrés est égal à 𝑥 sur trois. Puisque le cosinus de 45 degrés est aussi égal à racine deux sur deux, 𝑥 est égal à trois racine de deux sur deux.

Les composantes 𝑥 et 𝑦 sont donc égales à 2,12 avec trois chiffres significatifs. Nous pouvons donc écrire le vecteur 𝐕 sous la forme cartésienne 𝑥, 𝑦 comme 2,12 ; 2,12.

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