Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons comparer des fractions ayant soit le même
numérateur, soit le même dénominateur. Nous utiliserons les signes strictement inférieur, strictement supérieur
et égal pour exprimer les différences. Nous allons nous rappeler également que nous ne pouvons comparer
correctement des fractions que lorsqu’elles désignent le même
ensemble. Par exemple, la moitié d’une souris n’est pas égale à la moitié d’un
éléphant.
Tout d’abord, un petit rappel sur la définition du numérateur et celle du
dénominateur. Un numérateur est ce qu’on appelle « le nombre du haut » dans une
fraction, tandis qu’un dénominateur est « le nombre du bas ».
Prenons maintenant un délicieux gâteau au chocolat. C’est un gâteau entier. Si nous le divisons en une partie et nous mangeons cette partie, alors
nous aurons mangé tout le gâteau. Hum, délicieux, mais trop ! Donc, le nombre un représente le gâteau entier. Là, nous avons mangé le tout, un sur un, une partie sur une.
Prenons un autre gâteau qui ressemble exactement au précédent. Mais cette fois-ci nous allons le diviser en deux parties égales de sorte
à pouvoir partager le gâteau entre deux personnes. Chaque personne va avoir un demi, un sur deux, soit la moitié du
gâteau. Nous prenons un autre gâteau semblable et le divisons en quatre parties
pour le partager entre quatre personnes. Alors, chaque personne va avoir une partie sur quatre, c’est-à-dire le
quart du gâteau. Maintenant, nous avons un troisième gâteau que nous divisons en six
parties égales. Chaque personne va avoir une partie du gâteau, ce qui représente une
partie sur six ; il s’agit d’un sixième du gâteau.
Donc, si on partage un gâteau entre deux personnes, chacun aura un
morceau plus grand que le morceau obtenu en cas de partage entre
quatre personnes. En suivant le même raisonnement, si le gâteau est partagé entre quatre
personnes, chaque personne aura un plus grand morceau que si on le
partageait entre six personnes.
Nous pouvons utiliser ce symbole ici pour dire plus grand ou strictement
supérieur. Un demi est strictement supérieur à un quart. Et, un quart est plus grand qu’un sixième. Ce symbole peut prêter à confusion au début. Raison pour laquelle, il faut se rappeler qu’il y a la grande ouverture
et la pointe du symbole. Le plus grand nombre doit être du côté de la grande ouverture, alors que
le plus petit est du côté de la pointe. Ici, comme un quart est plus grand, alors la partie la plus ouverte du
symbole est vers le quart. Un sixième est plus petit, donc la pointe du symbole est vers le
sixième.
Il y a une autre version de l’usage de ce signe, il s’appelle strictement
inférieur. Nous savons qu’un quart est strictement inférieur à un demi, donc la
pointe est vers le plus petit nombre. Le plus grand nombre est du côté de la partie la plus ouverte. Un sixième est strictement inférieur à un quart, alors la pointe est vers
le plus petit nombre et le plus grand nombre est du côté de la
grande ouverture.
Là, certains parmi vous vont s’étonner et dire : « Un instant ! Vous êtes en train de dire qu’un demi est strictement supérieur à un
quart, alors que deux est plus petit que quatre !» Effectivement, il faut se rappeler que le dénominateur nous indique le
nombre de personnes qui se partagent le gâteau. Si plus de personnes se partagent le gâteau, alors chacun aura un morceau
plus petit. Si nous partageons un gâteau entre quatre personnes, les parts seront
plus petites par rapport aux morceaux de gâteau obtenus suite à un
partage entre deux personnes. Rappelons-nous que ce quart est plus petit que cette moitié du même
gâteau.
Pour résumer, en comparant des fractions ayant le même numérateur, celle
qui a le plus grand dénominateur représente la plus petite part. Nous pouvons voir que toutes les fractions ont pour numérateur le nombre
un. Un sixième représente une part inférieure à un demi. Il a un dénominateur plus grand que celui du demi, mais la fraction
représente une part plus petite du gâteau car le partage se fait
entre plus de personnes.
Comparons maintenant d’autres morceaux coupés de gâteaux identiques. Cette fois, nous les avons coupés en moitiés, en quarts et en
huitièmes. À l’aide des connaissances acquises, nous constatons que comme toutes les
fractions ont pour numérateur le nombre un, plus le dénominateur est
grand, plus la taille des morceaux diminue. Donc, un demi est strictement supérieur à un quart, et un quart est
strictement supérieur à un huitième. Mais que se passe-t-il si on prend plusieurs morceaux de ces
gâteaux ? Si on prend deux quarts ou quatre huitièmes, on aura la même quantité de
morceaux dans chaque cas. Évidemment, nous utilisons le signe égal pour représenter les parts
égales. Autrement dit, un demi équivaut à deux quarts, et deux quarts correspond
à quatre huitièmes. En effet, nous pouvons exprimer ce cas de ces trois façons. Nous pouvons aussi dire qu’un demi est égal à quatre huitièmes.
Dans tous les exemples vus jusqu’à présent dans cette vidéo, les gâteaux
partagés avaient tous la même taille, et il était alors facile de
comparer les fractions directement. Mais il est important de se rappeler qu’il faut être prudent en comparant
les fractions. S’il s’agit de fractions de différents ensembles, alors leur comparaison
n’est pas facile. Par exemple, un quart d’un petit gâteau n’est pas égal à un quart d’un
grand gâteau.
Revenons aux gâteaux de même taille. Nous avons coupé ces deux gâteaux égaux en huit parts égales. Nous avons pris un huitième du gâteau à gauche, et trois huitièmes du
gâteau à droite. Maintenant, nous avons deux fractions de même dénominateur. Sachant que les gâteaux ont la même taille et que nous les avons divisés
par le même nombre, à savoir huit, alors plus nous avons de parts,
plus nous aurons de gâteau.
Trois huitièmes est strictement supérieur à un huitième. Nous pouvons alors mettre le signe en ayant la grande ouverture vers
trois huitièmes et la pointe vers un huitième. Nous pouvons de même changer l’ordre des fractions et inverser le
signe. Quoi qu’il en soit, trois huitièmes est plus grand qu’un huitième.
Par conséquent, pour les fractions ayant le même dénominateur, un
numérateur plus grand signifie une plus grande part. Si nous avons plus de morceaux du gâteau de même taille, nous avons une
plus grande partie de ce gâteau.
Laissons de côté les gâteaux, et passons aux comparaisons sur la droite
numérique. Si nous avons un demi à comparer avec un tiers, nous pouvons constater
qu’un demi est strictement supérieur à un tiers. Il suffit de tracer une ligne pointillée du haut vers le bas pour voir
que cette flèche rouge en bas est un peu plus petite que la flèche
rouge en haut. Cela correspond bien à ce que nous venons d’apprendre. Si nous avons le même numérateur, plus le dénominateur est grand, plus le
quotient est petit. Un dénominateur plus grand signifie que nous partageons le gâteau entre
plus de personnes. Cela signifie que chaque personne aura un morceau plus petit. N’oublions pas que nous pouvons inverser la comparaison : un tiers est
strictement inférieur à un demi.
Maintenant, passons à un quart. Si nous comparons un tiers à un quart, alors la flèche représentant un
quart est plus petite que celle qui représente un tiers. Donc, un quart est strictement inférieur à un tiers, ou un tiers est
strictement supérieur à un quart.
Encore une fois, comme nous avons le même numérateur dans les deux cas,
plus le dénominateur est grand, plus la proportion représentée
diminue. Il suffit de se rappeler que quand on partage un gâteau entre plus de
personnes, chacun obtient un morceau plus petit.
Bon, il est temps de tester tes connaissances.
Complète avec ces signes : strictement inférieur, strictement supérieur
ou égal. Nous supposons maintenant que ce sont des fractions du même ensemble. Mets la vidéo en pause et complète, puis tu vas corriger tes réponses
dans un instant.
Pour le numéro un, nous avons le même numérateur. Un dénominateur plus grand signifie que nous partageons quelque chose
entre un plus grand nombre de personnes. Cette fraction sera la plus petite, donc un tiers est strictement
supérieur à un neuvième. La pointe est du côté de la plus petite fraction. Pour le numéro deux, il y a également le même numérateur, mais
attention ! Nous avons le même dénominateur aussi. Trois cinquièmes égale trois cinquièmes. Donc, nous mettons le signe égal, car les deux fractions sont égales. Dans le numéro trois, nous avons également le même numérateur. Le plus grand dénominateur signifie que le partage se fait entre plus de
personnes. Cette fraction sera la plus petite. Donc, la pointe est de ce côté, et le symbole s’ouvre vers la plus grande
fraction.
Pour le numéro quatre, nous avons le même dénominateur. Tous les petits morceaux sont de même taille. Dans la première fraction, nous avons un cinquième du gâteau, et dans la
seconde, trois cinquièmes ; ce qui signifie qu’il y a plus de parts
dans la seconde. Par conséquent, la plus grande fraction est du côté de la partie la plus
ouverte. La plus petite fraction est indiquée par la pointe. Pour le numéro cinq, nous avons le même dénominateur. Comme déjà indiqué, on se demande laquelle des fractions a le plus grand
numérateur, ce qui nous aide à déterminer la fraction la plus
grande, car nous allons avoir plus de septièmes du gâteau. Le signe sera de ce côté : quatre septièmes est strictement supérieur à
deux septièmes. Dernière question, le numéro six : nous n’avons ni le même numérateur ni
le même dénominateur. Il faut alors se rappeler la notion des fractions équivalentes. Bon, je recours à la multiplication par deux : si je multiplie deux par
deux, j’obtiens quatre. Et, si je multiplie trois par deux, j’obtiens six. Donc, nous avons multiplié le numérateur par deux et le dénominateur par
deux aussi, la multiplication se fait par le même nombre partout ;
cela signifie que nous avons des fractions équivalentes. En effet, elles sont égales.