Vidéo de la leçon : Égalité, addition et soustraction de nombres complexes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à égaliser, additionner et soustraire des nombres complexes.

17:03

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à additionner et à soustraire des nombres complexes. Nous allons commencer par rappeler ce que nous entendons par un nombre complexe et ce que signifie pour deux nombres complexes d’être égaux. Nous apprendrons ensuite comment additionner et soustraire ces nombres, en étendant cette idée à la résolution d’équations simples impliquant des nombres complexes.

On rappelle qu’un nombre complexe 𝑧 est un nombre de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. Il est important que 𝑎 et 𝑏 soient tous deux des nombres réels. Et 𝑖 est défini comme la solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Nous disons que 𝑖 au carré est égal à moins un et parfois 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un.

Et pour notre nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖, nous disons que la partie réelle de 𝑧 est 𝑎 et la partie imaginaire est 𝑏. Il est important de souligner que la partie imaginaire est 𝑏, et non pas 𝑏𝑖. Il s’agit en fait du coefficient de 𝑖. Et tout comme l’ensemble des nombres réels est désigné par la lettre ℝ, l’ensemble des nombres complexes est désigné par la lettre ℂ, comme indiqué.

Avant de pouvoir effectuer des additions et des soustractions et de résoudre des équations avec des nombres complexes, nous devons définir ce que signifie pour deux nombres complexes d’être égaux. Nous avons déjà vu qu’un nombre complexe est composé de deux parties : une partie réelle et une partie imaginaire. Les nombres 𝑎 et 𝑏 sont les parties réelle et imaginaire, respectivement. Et ils appartiennent tous deux à l’ensemble des nombres réels.

Supposons deux nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖. Nous voulons savoir ce que signifie pour ces deux nombres complexes d’être égaux. Eh bien, en fait, il s’ensuit que leurs parties réelles doivent être égales et séparément leurs parties imaginaires doivent être égales. Nous pouvons alors dire que 𝑎 plus 𝑏𝑖 est égal à 𝑐 plus 𝑑𝑖 si 𝑎 est égal à 𝑐 et 𝑏 est égal à 𝑑. En d’autres termes, deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et séparément leurs parties imaginaires sont égales. Et bien sûr, la réciproque est également vraie. Si 𝑎 est égal à 𝑐 et 𝑏 est égal à 𝑑, pour deux nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖, alors 𝑎 plus 𝑏𝑖 doit être égal à 𝑐 plus 𝑑𝑖. Regardons un problème pour lequel cette définition peut être utile.

Si les nombres complexes sept plus 𝑎𝑖 et 𝑏 moins trois 𝑖 sont égaux, quelles sont les valeurs de 𝑎 et 𝑏 ?

On rappelle que pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs parties réelles doivent être égales et leurs parties imaginaires doivent également être égales. Et l’intérêt de cette propriété est qu’elle transforme un problème de nombres complexes en un problème de nombres réels, puisque les parties réelles et les parties imaginaires de chaque nombre complexe doivent être des nombres réels.

Considérons donc les nombres complexes sept plus 𝑎𝑖 et 𝑏 moins trois 𝑖. La partie réelle du premier nombre complexe est sept, et la partie réelle de notre deuxième nombre complexe est 𝑏. La partie imaginaire de notre premier nombre complexe est 𝑎, et la partie imaginaire de notre deuxième nombre complexe est moins trois. Il s’ensuit que sept doit être égal à 𝑏 et 𝑎 doit être égal à moins trois. Les nombres moins trois et sept sont des nombres réels, ce qui répond à nos critères pour les parties réelles et imaginaires d’un nombre complexe. Ainsi, pour que les nombres complexes sept plus 𝑎𝑖 et 𝑏 moins trois 𝑖 soient égaux, 𝑎 doit être égal à moins trois et 𝑏 doit être égal à sept.

Alors qu’en est-il de l’addition et de la soustraction de nombres complexes ? On rappelle qu’un nombre complexe est le résultat de l’addition d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire. Nous pouvons comparer cela un peu à une expression algébrique comme quatre plus sept 𝑥. Cette expression est le résultat de l’ajout d’un nombre réel et d’un terme en 𝑥. Nous pourrions ajouter, par exemple, quatre plus sept 𝑥 et une autre expression telle que deux plus cinq 𝑥 en ajoutant individuellement les nombres pour obtenir six et en ajoutant les termes en 𝑥. Cela fait sept 𝑥 plus cinq 𝑥, soit 12𝑥.

Nous pouvons ajouter des nombres complexes de la même manière, en nous rappelant que la lettre 𝑖 ne représente pas une variable. Mais il s’agit de la solution à l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Généralisons cela pour les nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖. Leur somme est 𝑎 plus 𝑏𝑖 plus 𝑐 plus 𝑑𝑖. Et nous pouvons ajouter les parties réelles 𝑎 et 𝑐, et nous obtenons 𝑎 plus 𝑐, puis ajouter leurs parties imaginaires. Soit 𝑏 plus 𝑑. Nous voyons donc que la somme de ces deux nombres complexes est 𝑎 plus 𝑐 plus 𝑏 plus 𝑑 𝑖.

Leur différence est 𝑎 plus 𝑏𝑖 moins 𝑐 plus 𝑑𝑖. Cette fois, nous ajoutons leurs parties réelles et nous obtenons 𝑎 moins 𝑐. Et nous ajoutons leurs parties imaginaires. Nous obtenons 𝑏. Et puis nous développons la parenthèse et nous obtenons moins 𝑑. La différence est donc 𝑎 moins 𝑐 plus 𝑏 moins 𝑑 𝑖. Donc pour additionner et soustraire des nombres complexes, nous additionnons ou soustrayons leurs parties réelles et ajoutons ou soustrayons séparément leurs parties imaginaires.

En fait, ce que nous avons vu jusqu’à présent, c’est que nous pouvons prendre un problème de nombres complexes et le transformer en un problème de nombres réels en considérant séparément les parties réelles et imaginaires. Cela est très utile car cela signifie que nous pouvons utiliser les compétences que nous avons déjà pour des nombres réels et les étendre aux problèmes de nombres complexes. Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Que vaut moins neuf plus sept plus quatre 𝑖 plus moins quatre moins quatre 𝑖 moins un plus trois 𝑖 ?

On rappelle que l’on peut additionner ou soustraire des nombres complexes en ajoutant leurs parties réelles et en ajoutant séparément leurs parties imaginaires. Ici, nous avons quatre nombres complexes. Alors, cela n’y ressemble peut-être pas, mais on peut dire que le moins neuf est en fait un nombre complexe. Il s’agit de moins neuf plus zéro 𝑖.

Donc pour résoudre ce problème, nous allons commencer par déterminer la partie réelle. Elle vaut moins neuf plus sept moins quatre moins un, soit moins sept. De même, les parties imaginaires sont zéro, quatre, moins quatre et moins trois.

On rappelle que l’on doit développer cette dernière parenthèse. Et un négatif multiplié par un positif est un négatif. Cela nous donne moins trois. La partie réelle de notre solution est donc moins sept, et la partie imaginaire est moins trois. Donc moins neuf plus sept plus quatre 𝑖 plus moins quatre moins quatre 𝑖 moins un plus trois 𝑖 égale moins sept moins trois 𝑖.

Nous savons aussi que de nombreuses propriétés algébriques peuvent être étendues à la notion de nombres complexes. Nous aurions pu collecter les termes semblables. En développant cette dernière parenthèse, puis en réorganisant légèrement, nous obtenons moins neuf plus sept plus moins quatre moins un plus quatre 𝑖 plus moins quatre 𝑖 moins trois 𝑖, ce qui nous donne encore une fois moins sept moins trois 𝑖. Cette dernière méthode, collecter les termes semblables, est généralement celle que nous utilisons lors de l’addition et de la soustraction de nombres complexes.

Il est cependant utile de rappeler qu’il existe d’autres méthodes qui peuvent fonctionner. Voyons maintenant pourquoi.

Si 𝑟 est égal à cinq plus deux 𝑖 et 𝑠 est égal à neuf moins 𝑖, déterminez la partie réelle de 𝑟 moins 𝑠.

Ici, nous avons deux nombres complexes définis comme cinq plus deux 𝑖 et neuf moins 𝑖. Nous pouvons voir que la partie réelle de 𝑟 est cinq et la partie réelle de 𝑠 est neuf. La partie imaginaire de 𝑟 est deux et la partie imaginaire de 𝑠 est moins un. On nous demande de déterminer la partie réelle de la différence entre 𝑟 et 𝑠. Et nous pourrions absolument trouver la réponse complète à 𝑟 moins 𝑠 en collectant des termes similaires. Cela fait cinq plus deux 𝑖 moins neuf moins 𝑖.

Il est important d’utiliser cette parenthèse ici car nous soustrayons tout ce qui s’y trouve, soit neuf moins 𝑖. Si nous développons cette parenthèse, nous obtenons cinq plus deux 𝑖 moins neuf plus 𝑖, car soustraire un négatif revient à ajouter un positif. Ensuite, nous simplifierions en collectant des termes similaires. Cependant, cela requiert un plus grand effort de travail que nécessaire.

En effet, nous rappelons que, pour soustraire des nombres complexes, nous soustrayons simplement les parties réelles, puis les parties imaginaires séparément. On nous demande de déterminer les parties réelles du nombre complexe 𝑟 moins 𝑠. Donc en fait, il suffit de soustraire la partie réelle de 𝑠 de la partie réelle de 𝑟. Nous pouvons formaliser cela et dire que la partie réelle de 𝑟 moins 𝑠 est égale à la partie réelle de 𝑟 moins la partie réelle de 𝑠. Nous avons déjà vu que la partie réelle de 𝑟 est cinq et la partie réelle de 𝑠 est neuf. Cinq moins neuf égale moins quatre. Donc la partie réelle de 𝑟 moins 𝑠 dans ce cas est moins quatre.

Maintenant que nous avons établi ce que signifie pour deux nombres complexes d’être égaux et appris à additionner et à soustraire des nombres complexes, cela va nous permettre de résoudre des équations simples impliquant ces types de nombres.

Déterminez les nombres réels 𝑥 et 𝑦 qui vérifient l’équation cinq 𝑥 plus deux plus trois 𝑦 moins cinq 𝑖 égale moins trois plus quatre 𝑖.

Regardons attentivement ce qui nous a été donné. On nous a donné deux nombres complexes dont on nous dit qu’ils sont égaux. Alors, bien qu’elle n’y ressemble pas, l’expression à gauche du signe égal est bien un nombre complexe. On rappelle qu’un nombre complexe est de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Et on nous dit que 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels. Cela signifie que l’expression cinq 𝑥 plus deux doit être réelle et trois 𝑦 moins cinq doit être réelle. Donc cinq 𝑥 plus deux plus trois 𝑦 moins cinq 𝑖 est un nombre complexe. Il a une partie réelle de cinq 𝑥 plus deux et une partie imaginaire de trois 𝑦 moins cinq.

Ensuite, rappelons ce que signifie pour deux nombres complexes d’être égaux. Nous voyons que deux nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖 sont égaux si 𝑎 est égal à 𝑐 et 𝑏 est égal à 𝑑. En d’autres termes, leurs parties réelles doivent être égales et séparément leurs parties imaginaires doivent être égales.

Commençons par les parties réelles de notre question. Nous avons vu que la partie réelle du nombre complexe à gauche est cinq 𝑥 plus deux. Et à droite, elle vaut moins trois. Cela signifie que cinq 𝑥 plus deux doit être égal à moins trois. Nous allons résoudre ce problème normalement en appliquant une série d’opérations. Nous soustrayons deux des deux côtés, puis nous divisons par cinq. Et nous voyons que 𝑥 est égal à moins un.

Répétons ce processus pour les parties imaginaires. Nous avons dit que la partie imaginaire de notre nombre à gauche est trois 𝑦 moins cinq. Et à droite, on peut voir qu’il s’agit de quatre. Cela signifie que trois 𝑦 moins cinq doit être égal à quatre. Nous pouvons ajouter cinq aux deux côtés de cette équation. Et puis nous divisons par trois. Et nous voyons que 𝑦 doit être égal à trois. Et nous avons résolu l’équation pour 𝑥 et 𝑦. Nous avons 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale trois.

Et il est toujours judicieux de vérifier nos réponses en les replaçant dans l’équation et en s’assurant qu’elle a toujours du sens. Si nous le faisons, nous obtenons cinq multiplié par moins un plus deux plus trois multiplié par trois moins cinq 𝑖. Cela nous donne en effet moins trois plus quatre 𝑖 comme requis.

Notre dernier exemple utilise tout ce que nous avons vu dans cette vidéo, avec juste un peu plus de complexité.

Soit 𝑧 un égal à quatre 𝑥 plus deux 𝑦𝑖 et 𝑧 deux égal à quatre 𝑦 plus 𝑥𝑖, où 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels. Sachant que 𝑧 un moins 𝑧 deux est égal à cinq plus deux 𝑖, déterminez 𝑧 un et 𝑧 deux.

Regardons attentivement ce qui nous a été donné. On nous a donné deux nombres complexes en fonction de 𝑥 et 𝑦. Et nous savons que ce sont des nombres complexes parce qu’on nous dit que 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels. Cela est une définition importante d’un nombre complexe. Les parties réelles et imaginaires des nombres complexes doivent être composées de nombres réels. On nous dit aussi que la différence entre ces deux nombres est de cinq plus deux 𝑖.

Rappelons que pour soustraire des nombres complexes, il suffit de soustraire les parties réelles, puis séparément de soustraire les parties imaginaires. Cela signifie que la partie réelle de 𝑧 un moins 𝑧 deux doit être égale à la différence entre les parties réelles de 𝑧 un et 𝑧 deux. La partie réelle de 𝑧 un moins 𝑧 deux est cinq. La partie réelle de 𝑧 un est quatre 𝑥, et la partie réelle de notre deuxième nombre complexe est quatre 𝑦. Donc cinq est égal à quatre 𝑥 moins quatre 𝑦.

Répétons ce processus pour nos parties imaginaires. La partie imaginaire de la différence est deux. La partie imaginaire de 𝑧 un est deux 𝑦, et la partie imaginaire de 𝑧 deux est 𝑥. Donc deux est égal à deux 𝑦 moins 𝑥. Et maintenant, nous voyons que nous avons système d’équations en 𝑥 et 𝑦. Nous pouvons utiliser n’importe quelle méthode qui nous convient pour les résoudre.

Par exemple, la substitution se prête très bien à ces équations. Réarrangeons cette deuxième équation pour isoler 𝑥. Nous ajoutons 𝑥 des deux côtés, puis soustrayons deux. Et nous obtenons 𝑥 égale deux 𝑦 moins deux. Nous substituons ensuite cela dans notre première équation. Et nous voyons que cinq est égal à quatre fois notre valeur de 𝑥, qui est deux 𝑦 moins deux. Et puis nous soustrayons ces quatre 𝑦.

Nous développons cette parenthèse en multipliant chaque terme par quatre. Et nous voyons que cinq est égal à huit 𝑦 moins huit moins quatre 𝑦. Huit 𝑦 moins quatre 𝑦 égale quatre 𝑦. Nous résolvons cette équation en ajoutant huit des deux côtés pour obtenir 13 égale quatre 𝑦. Et puis nous divisons par quatre. Et nous voyons que 𝑦 est égal à 13 sur quatre.

Nous pourrions replacer cette valeur dans n’importe laquelle de nos équations d’origine. Mais il est judicieux de choisir la forme réarrangée de la deuxième équation. Nous avons 𝑥 est égal à deux multiplié par 13 sur quatre moins deux. Deux multiplié par 13 sur quatre est égal à 13 sur deux. Et deux est égal à quatre sur deux. 13 sur deux moins quatre sur deux est égal à neuf sur deux. Et nous nous arrêtons généralement à ce stade.

Mais on nous a demandé de déterminer les nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux. Nous devons donc substituer nos valeurs pour 𝑥 et 𝑦 dans chacun de ces nombres. Nous obtenons 𝑧 un est égal à quatre multiplié par neuf sur deux plus deux multiplié par 13 sur quatre 𝑖. Soit 18 plus 13 sur deux 𝑖. Et nous avons 𝑧 deux égale quatre multiplié par 13 sur quatre plus neuf sur deux 𝑖. Soit 13 plus neuf sur deux 𝑖.

Et il est judicieux de vérifier notre réponse en soustrayant 𝑧 deux de 𝑧 un et en vérifiant que nous obtenons bien cinq plus deux 𝑖. Nous soustrayons leurs parties réelles. 18 moins 13 égale cinq, comme requis. Et nous soustrayons leurs parties imaginaires. 13 sur deux moins neuf sur deux égale quatre sur deux, soit deux. La partie imaginaire est donc deux comme requis.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons transformer un problème de nombres complexes en un problème de nombres réels en considérant séparément leurs parties réelles et imaginaires. Et nous avons vu que cela peut être utile car nous savons déjà ajouter, soustraire et égaliser des nombres réels. Nous avons également appris que nous pouvons étendre des règles pour les expressions algébriques pour travailler avec des nombres complexes.

Nous avons vu que deux nombres complexes sont égaux si, séparément, leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Et enfin, nous avons appris que nous pouvons additionner et soustraire des nombres complexes en additionnant ou en soustrayant leurs parties réelles et en ajoutant ou en soustrayant leurs parties imaginaires.

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