Vidéo : Addition et soustraction des nombres complexes

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment égaler, additionner et soustraire les nombres complexes.

15:16

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à additionner et à soustraire des nombres complexes. Nous allons commencer par récapituler ce que nous entendons par un nombre complexe et ce que signifie pour deux nombres complexes d’être égaux. Nous allons ensuite apprendre à additionner et à soustraire ces nombres, en élargissant cette idée à la résolution d’équations simples comportant des nombres complexes.

Rappelez-vous qu’un nombre complexe 𝑧 est un nombre de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. Il est important que 𝑎 et 𝑏 soient tous les deux des nombres réels. Et 𝑖 est défini comme la solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Nous disons que 𝑖 au carré égale moins un, et parfois 𝑖 égale la racine carrée de moins un.

Et pour notre nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖, nous disons que la partie réelle de 𝑧 est 𝑎 et la partie imaginaire est 𝑏. Il est important que la partie imaginaire soit 𝑏, non pas 𝑏𝑖. C’est essentiellement le coefficient de 𝑖. Et tout comme l’ensemble des nombres réels est désigné par la lettre ℝ, l’ensemble des nombres complexes est désigné par la lettre ℂ, comme indiqué.

Avant de pouvoir effectuer des additions et des soustractions, voire de résoudre des équations avec des nombres complexes, nous devons définir ce que signifie pour deux nombres complexes d’être égaux. Nous avons déjà vu qu’un nombre complexe est composé de deux parties : une partie réelle et une partie imaginaire. 𝑎 et 𝑏 sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire. Et elles appartiennent toutes les deux à l’ensemble des nombres réels.

Disons que nous avons deux nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖. Nous voulons savoir ce que signifie pour ces deux nombres complexes d’être égaux. En fait, il s’ensuit que leurs parties réelles doivent être égales et leurs parties imaginaires doivent être séparément égales. Nous pouvons dire alors que 𝑎 plus 𝑏𝑖 égale 𝑐 plus 𝑑𝑖 si 𝑎 est égal à 𝑐 et 𝑏 est égal à 𝑑. En d’autres termes, deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et séparément, leurs parties imaginaires sont égales. Et bien sûr, l’équivalent est aussi vrai. Si 𝑎 est égal à 𝑐 et 𝑏 est égal à 𝑑, pour deux nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖, alors 𝑎 plus 𝑏𝑖 doit être égal à 𝑐 plus 𝑑𝑖. Considérons notre problème pour lequel cette définition pourrait être utile.

Si les nombres complexes sept plus 𝑎𝑖 et 𝑏 moins trois 𝑖 sont égaux, quelles sont les valeurs de 𝑎 et de 𝑏 ?

Rappelez-vous que pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs parties réelles doivent être égales et leurs parties imaginaires doivent aussi être égales. Et la beauté de ce fait, c’est qu’un problème sur les nombres complexes devient uniquement sur les nombres réels, puisque les parties réelles et les parties imaginaires de chaque nombre complexe doivent être des nombres réels.

Regardons les nombres complexes sept plus 𝑎𝑖 et ensuite 𝑏 moins trois 𝑖. La partie réelle du premier nombre complexe est sept, et la partie réelle de notre deuxième nombre complexe est 𝑏. La partie imaginaire de notre premier nombre complexe est 𝑎, et la partie imaginaire de notre deuxième nombre complexe est moins trois. Il s’ensuit que sept doit être égal à 𝑏 et que 𝑎 doit être égal à moins trois. Les nombres moins trois et sept sont tous les deux des nombres réels, ce qui satisfait à nos critères pour les parties réelles et imaginaires d’un nombre complexe. Donc, pour que les nombres complexes sept plus 𝑎𝑖 et 𝑏 moins trois 𝑖 soient égaux, 𝑎 doit être égal à moins trois et 𝑏 doit être égal à sept.

Et que dire de l’addition et de la soustraction de nombres complexes ? Rappelez-vous qu’un nombre complexe est le résultat de l’addition d’un nombre réel et d’un autre imaginaire. Nous pouvons comparer cela un peu à l’idée d’une expression littérale comme quatre plus sept 𝑥. Ceci est le résultat de l’addition d’un nombre et d’un terme dans 𝑥. Nous pourrions ajouter, par exemple, quatre plus sept 𝑥 et une autre expression telle que deux plus cinq 𝑥 en ajoutant individuellement les nombres pour obtenir six et en ajoutant les termes dans 𝑥. Cela donne sept 𝑥 et cinq 𝑥, soit 12𝑥.

Nous pouvons additionner les nombres complexes exactement de la même manière, en nous rappelant que la lettre 𝑖 ne représente pas réellement une variable. Mais c’est la solution à l’équation : 𝑥 au carré égale moins un. Généralisons cela pour les nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖. Leur somme est 𝑎 plus 𝑏𝑖 plus 𝑐 plus 𝑑𝑖. Et nous pouvons additionner les parties réelles 𝑎 et 𝑐, et nous obtenons 𝑎 plus 𝑐, puis additionner leurs parties imaginaires. C’est 𝑏 plus 𝑑. Nous voyons donc que la somme de ces deux nombres complexes est 𝑎 plus 𝑐 plus 𝑏 plus 𝑑 𝑖.

Leur différence est 𝑎 plus 𝑏𝑖 moins 𝑐 plus 𝑑𝑖. Cette fois, nous additionnons leurs parties réelles et nous obtenons 𝑎 moins 𝑐. Et nous additionnons leurs parties imaginaires. Nous obtenons 𝑏. Et puis on distribue les parenthèses et on obtient moins 𝑑. Donc, la différence est 𝑎 moins 𝑐 plus 𝑏 moins 𝑑 𝑖. Donc, pour additionner et soustraire des nombres complexes, on additionne ou soustrait leurs parties réelles et séparément, on additionne ou soustrait leurs parties imaginaires.

En fait, ce que nous avons vu jusqu’à présent, c’est que nous pouvons prendre un problème de nombres complexes et le transformer en un problème de nombres réels en tenant compte des parties réelles et imaginaires. C’est formidable, car cela signifie que nous pouvons utiliser les compétences que nous avons déjà pour travailler avec des nombres réels, et les étendre pour travailler avec des nombres complexes. Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Que vaut moins neuf plus sept plus moins quatre 𝑖 plus moins quatre moins quatre 𝑖 moins un plus trois 𝑖 ?

Rappelez-vous que nous pouvons additionner ou soustraire des nombres complexes en additionnant leurs parties réelles, et en additionnant séparément leurs parties imaginaires. Ici nous avons quatre nombres complexes. Cela n’a peut-être pas l’air, mais on pourrait dire que le moins neuf est en réalité un nombre complexe. C’est moins neuf plus zéro 𝑖.

Donc, pour résoudre ce problème, nous allons commencer par calculer la partie réelle. C’est moins neuf plus sept moins quatre moins un, ce qui donne moins sept. De même, les parties imaginaires sont zéro, quatre, moins quatre et moins trois.

Rappelez-vous, nous distribuons ce dernier ensemble de parenthèses. Et un nombre négatif multiplié par un nombre positif est un nombre négatif. Cela nous donne moins trois. La partie réelle de notre solution est donc le moins sept, et la partie imaginaire le moins trois. Donc, moins neuf plus sept plus quatre 𝑖 plus moins quatre moins quatre 𝑖 moins un plus trois 𝑖 est moins sept moins trois 𝑖.

Nous savons aussi que de nombreuses propriétés algébriques peuvent être étendues à la notion des nombres négatifs. Nous aurions en fait pu collecter des termes similaires. En distribuant cet ensemble final de parenthèses et en réorganisant, nous obtenons moins neuf plus sept plus moins quatre moins un plus quatre 𝑖 plus moins quatre 𝑖 moins trois 𝑖, ce qui nous donne à nouveau moins sept moins trois 𝑖. Cette dernière méthode, celle de regrouper des termes similaires, est généralement celle que nous utilisons pour additionner et soustraire des nombres complexes. Il est toutefois utile de rappeler qu’il existe d’autres méthodes qui peuvent fonctionner. Voyons pourquoi.

Si 𝑟 est égal à cinq plus deux 𝑖 et 𝑠 est égal à neuf moins 𝑖, trouvez la partie réelle de 𝑟 moins 𝑠.

Nous avons ici deux nombres complexes à trouver : cinq plus deux 𝑖 et neuf moins 𝑖. Nous pouvons voir que la partie réelle de 𝑟 est cinq et la partie réelle de 𝑠 est neuf. La partie imaginaire de 𝑟 est deux et la partie imaginaire de 𝑠 est moins un. On nous demande de trouver la partie réelle de la différence entre 𝑟 et 𝑠. Et nous pourrions absolument trouver la réponse complète à 𝑟 moins 𝑠 en regroupant des termes similaires. C’est cinq plus deux 𝑖 moins neuf moins 𝑖.

Il est important d’utiliser ces parenthèses ici car cela nous rappelle que nous soustrayons tout ce qui se trouve entre ces parenthèses, neuf moins 𝑖. Si nous distribuons ces parenthèses, nous obtenons cinq plus deux 𝑖 moins neuf plus 𝑖, car soustraire un nombre négatif équivaut à additionner un nombre positif. Ensuite, nous simplifierions en regroupant les termes similaires. Cependant, c’est probablement un peu plus de travail que ce que nous devons vraiment faire.

En fait, nous rappelons que, pour soustraire des nombres complexes, nous soustrayons simplement les parties réelles, puis les parties imaginaires séparément. On nous demande de calculer les parties réelles du nombre complexe 𝑟 moins 𝑠. Donc, en fait, il suffit de soustraire la partie réelle de 𝑠 de la partie réelle de 𝑟. Nous pouvons formaliser cela et dire que la partie réelle de 𝑟 moins 𝑠 est égale à la partie réelle de 𝑟 moins la partie réelle de 𝑠. Nous avons déjà vu que la partie réelle de 𝑟 est cinq et la partie réelle de 𝑠 est neuf. Cinq moins neuf est moins quatre. Donc la partie réelle de 𝑟 moins 𝑠 dans ce cas est moins quatre.

Maintenant que nous avons établi ce que signifie pour deux nombres complexes d’être égaux, et appris à additionner et à soustraire des nombres complexes, cela nous permettra de résoudre de simples équations impliquant ces genres de nombres.

Déterminez les nombres réels 𝑥 et 𝑦 qui satisfont à l’équation cinq 𝑥 plus deux plus trois 𝑦 moins cinq 𝑖 égale moins trois plus quatre 𝑖.

Examinons attentivement les données que nous avons. On nous dit que les deux nombres complexes donnés sont égaux. Je sais que ça n’en a pas l’air, mais cette expression à gauche du signe égal est en effet un nombre complexe. Rappelez-vous qu’un nombre complexe est de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Et on nous dit que 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels. Et cela signifie que l’expression cinq 𝑥 plus deux doit être réelle, et que trois 𝑦 moins cinq doit être réelle. Donc cinq 𝑥 plus deux plus trois 𝑦 moins cinq 𝑖 est un nombre complexe. Il comporte une partie réelle de cinq 𝑥 plus deux et une partie imaginaire de trois 𝑦 moins cinq.

Ensuite, rappelons-nous ce que signifie pour deux nombres complexes égaux. On voit que deux nombres complexes 𝑎 plus 𝑏𝑖 et 𝑐 plus 𝑑𝑖 sont égaux si 𝑎 égale 𝑐 et 𝑏 égale 𝑑. En d’autres termes, leurs parties réelles doivent être égales, et leurs parties imaginaires doivent être séparément égales.

Commençons par les parties réelles de notre question. Nous avons vu que la partie réelle du nombre complexe à gauche est cinq 𝑥 plus deux. Et à droite, elle est moins trois. Cela signifie que cinq 𝑥 plus deux doit être égal à moins trois. Nous allons résoudre ce problème normalement en appliquant une série d’opérations inverses. Nous allons soustraire deux aux deux membres, puis nous diviserons par cinq. Et nous voyons que 𝑥 égale moins un.

Répétons ce processus pour les parties imaginaires. Nous avons dit que la partie imaginaire de notre nombre à gauche est trois 𝑦 moins cinq. Et à droite, on peut voir que c’est quatre. Cela signifie que trois 𝑦 moins cinq est égale à quatre. Nous pouvons ajouter cinq aux deux membres de cette équation. Ensuite, nous diviserons par trois. Et on voit que 𝑦 doit être égal à trois. Et nous avons résolu l’équation pour 𝑥 et 𝑦. 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale trois.

En fait, on est toujours censé vérifier nos réponses en les replaçant dans l’équation et en s’assurant qu’elles sont logiques. Si nous le faisons, nous obtenons cinq multiplié par moins un plus deux plus trois multiplié par trois moins cinq 𝑖. Cela nous donne effectivement moins trois plus quatre 𝑖 comme requis. Notre dernier exemple utilise tout ce que nous avons vu dans cette vidéo, avec juste un peu plus de complexité.

Soit 𝑧 un égale quatre 𝑥 plus deux 𝑦𝑖 et 𝑧 deux égale quatre 𝑦 plus 𝑥𝑖, où 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels. Sachant que 𝑧 un moins 𝑧 deux égale cinq plus deux 𝑖, trouvez 𝑧 un et 𝑧 deux.

Examinons attentivement les données. Nous avons deux nombres complexes en fonction de 𝑥 et de 𝑦. Et nous savons que ce sont des nombres complexes car on nous dit que 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels. C’est une définition importante d’un nombre complexe. Les parties réelles et imaginaires des nombres complexes doivent être composées de nombres réels. On nous dit également que la différence entre ces deux nombres est de cinq plus deux 𝑖.

Rappelons-nous : pour soustraire des nombres complexes, il suffit de soustraire les parties réelles, puis de soustraire les parties imaginaires séparément. Cela signifie que la partie réelle de 𝑧 un moins 𝑧 deux doit être égale à la différence entre les parties réelles de 𝑧 un et de 𝑧 deux. La partie réelle de 𝑧 un moins 𝑧 deux est cinq. La partie réelle de 𝑧 un est quatre 𝑥, et la partie réelle de notre deuxième nombre complexe est quatre 𝑦. Donc cinq est égal à quatre 𝑥 moins quatre 𝑦.

Répétons ce processus pour nos nombres imaginaires. La partie imaginaire de la différence est deux. La partie imaginaire de 𝑧 un est deux 𝑦, et la partie imaginaire de 𝑧 deux est 𝑥. Donc deux équivaut à deux 𝑦 moins 𝑥. Et maintenant nous voyons que nous avons une paire d’équations simultanées en 𝑥 et 𝑦. Nous pouvons utiliser n’importe quelle méthode avec laquelle nous sommes à l’aise pour les résoudre.

Maintenant, je pense que la substitution se prête assez bien à ces équations. Réarrangeons cette seconde équation pour faire de 𝑥 le sujet. Nous ajoutons 𝑥 aux deux membres, puis en soustrayons deux. Et nous obtenons 𝑥 égale deux 𝑦 moins deux. Nous substituons ensuite ceci dans notre première équation. Et nous voyons que cinq est égal à quatre lots de notre valeur de 𝑥, ce qui correspond à deux 𝑦 moins deux. Et puis on soustrait ce quatre 𝑦.

Nous distribuons ces parenthèses en multipliant chaque terme par quatre. Et on voit que cinq est égal à huit 𝑦 moins huit moins quatre 𝑦. Huit 𝑦 moins quatre 𝑦 est quatre 𝑦. Nous allons résoudre cette équation en ajoutant huit aux deux membres pour obtenir 13 égale quatre 𝑦. Et ensuite, nous diviserons par quatre. Et nous voyons que 𝑦 est égal à 13 sur quatre.

Nous pourrions replacer cette valeur dans n’importe laquelle de nos équations initiales. Mais il est judicieux de choisir la forme réarrangée de la deuxième équation. 𝑥 égale deux multiplié par 13 sur quatre moins deux. Deux multiplié par 13 sur quatre équivaut à 13 sur deux. Et deux est la même chose que quatre sur deux. 13 sur deux moins quatre sur deux est neuf sur deux. Et c’est normalement là que nous nous arrêtons.

Mais on nous demande de trouver les nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux. Nous devons donc substituer nos valeurs pour 𝑥 et 𝑦 dans chacun de ces nombres. On obtient 𝑧 un égale quatre multiplié par neuf sur deux plus deux multiplié par 13 sur quatre 𝑖. Ça donne 18 plus 13 sur deux 𝑖. 𝑧 deux est quatre multiplié par 13 sur quatre plus neuf sur deux 𝑖. C’est 13 plus neuf sur deux 𝑖.

Et il est judicieux de vérifier notre réponse en soustrayant 𝑧 deux à 𝑧 un, et en vérifiant que nous obtenons bien cinq plus deux 𝑖. Nous soustrayons leurs vraies parties. 18 moins 13 est cinq, tel que requis. Et on soustrait leurs parties imaginaires. 13 sur deux moins neuf sur deux est quatre sur deux, qui est simplifié à deux. Et la partie imaginaire est deux, tel que requis.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons transformer un problème de nombres complexes en un problème comportant des nombres réels en tenant compte de leurs parties réelles et imaginaires. Et nous avons vu que cela peut être utile car nous savons déjà additionner, soustraire et égaler des nombres réels. Nous avons également appris que nous pouvons approfondir des idées sur les règles relatives aux expressions littérales pour nous aider à travailler avec des nombres complexes.

Nous avons vu que deux nombres complexes sont égaux si, séparément, leurs composantes réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Enfin, nous avons appris que nous pouvons additionner et soustraire des nombres complexes en additionnant ou en soustrayant leurs parties réelles, et en additionnant ou en soustrayant leurs parties imaginaires.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.