Transcription de la vidéo
Dans cette leçon, nous allons apprendre à additionner et à soustraire des nombres
complexes. Nous allons commencer par rappeler ce que nous entendons par un nombre complexe et ce
que signifie pour deux nombres complexes dâĂȘtre Ă©gaux. Nous apprendrons ensuite comment additionner et soustraire ces nombres, en Ă©tendant
cette idĂ©e Ă la rĂ©solution dâĂ©quations simples impliquant des nombres complexes.
On rappelle quâun nombre complexe đ§ est un nombre de la forme đ plus đđ. Il est important que đ et đ soient tous deux des nombres rĂ©els. Et đ est dĂ©fini comme la solution de lâĂ©quation đ„ au carrĂ© Ă©gale moins un. Nous disons que đ au carrĂ© est Ă©gal Ă moins un et parfois đ est Ă©gal Ă la racine
carrée de moins un.
Et pour notre nombre complexe đ plus đđ, nous disons que la partie rĂ©elle de đ§
est đ et la partie imaginaire est đ. Il est important de souligner que la partie imaginaire est đ, et non pas đđ. Il sâagit en fait du coefficient de đ. Et tout comme lâensemble des nombres rĂ©els est dĂ©signĂ© par la lettre â, lâensemble
des nombres complexes est dĂ©signĂ© par la lettre â, comme indiquĂ©.
Avant de pouvoir effectuer des additions et des soustractions et de résoudre des
équations avec des nombres complexes, nous devons définir ce que signifie pour deux
nombres complexes dâĂȘtre Ă©gaux. Nous avons dĂ©jĂ vu quâun nombre complexe est composĂ© de deux parties : une partie
rĂ©elle et une partie imaginaire. Les nombres đ et đ sont les parties rĂ©elle et imaginaire, respectivement. Et ils appartiennent tous deux Ă lâensemble des nombres rĂ©els.
Supposons deux nombres complexes đ plus đđ et đ plus đđ. Nous voulons savoir ce que signifie pour ces deux nombres complexes dâĂȘtre Ă©gaux. Eh bien, en fait, il sâensuit que leurs parties rĂ©elles doivent ĂȘtre Ă©gales et
sĂ©parĂ©ment leurs parties imaginaires doivent ĂȘtre Ă©gales. Nous pouvons alors dire que đ plus đđ est Ă©gal Ă đ plus đđ si đ est Ă©gal Ă đ
et đ est Ă©gal Ă đ. En dâautres termes, deux nombres complexes sont Ă©gaux si leurs parties rĂ©elles sont
Ă©gales et sĂ©parĂ©ment leurs parties imaginaires sont Ă©gales. Et bien sĂ»r, la rĂ©ciproque est Ă©galement vraie. Si đ est Ă©gal Ă đ et đ est Ă©gal Ă đ, pour deux nombres complexes đ plus đđ et
đ plus đđ, alors đ plus đđ doit ĂȘtre Ă©gal Ă đ plus đđ. Regardons un problĂšme pour lequel cette dĂ©finition peut ĂȘtre utile.
Si les nombres complexes sept plus đđ et đ moins trois đ sont Ă©gaux, quelles
sont les valeurs de đ et đ ?
On rappelle que pour que deux nombres complexes soient Ă©gaux, leurs parties
rĂ©elles doivent ĂȘtre Ă©gales et leurs parties imaginaires doivent Ă©galement ĂȘtre
Ă©gales. Et lâintĂ©rĂȘt de cette propriĂ©tĂ© est quâelle transforme un problĂšme de nombres
complexes en un problÚme de nombres réels, puisque les parties réelles et les
parties imaginaires de chaque nombre complexe doivent ĂȘtre des nombres
réels.
ConsidĂ©rons donc les nombres complexes sept plus đđ et đ moins trois đ. La partie rĂ©elle du premier nombre complexe est sept, et la partie rĂ©elle de
notre deuxiĂšme nombre complexe est đ. La partie imaginaire de notre premier nombre complexe est đ, et la partie
imaginaire de notre deuxiĂšme nombre complexe est moins trois. Il sâensuit que sept doit ĂȘtre Ă©gal Ă đ et đ doit ĂȘtre Ă©gal Ă moins trois. Les nombres moins trois et sept sont des nombres rĂ©els, ce qui rĂ©pond Ă nos
critĂšres pour les parties rĂ©elles et imaginaires dâun nombre complexe. Ainsi, pour que les nombres complexes sept plus đđ et đ moins trois đ soient
Ă©gaux, đ doit ĂȘtre Ă©gal Ă moins trois et đ doit ĂȘtre Ă©gal Ă sept.
Alors quâen est-il de lâaddition et de la soustraction de nombres complexes ? On rappelle quâun nombre complexe est le rĂ©sultat de lâaddition dâun nombre rĂ©el et
dâun nombre imaginaire. Nous pouvons comparer cela un peu Ă une expression algĂ©brique comme quatre plus sept
đ„. Cette expression est le rĂ©sultat de lâajout dâun nombre rĂ©el et dâun terme en đ„. Nous pourrions ajouter, par exemple, quatre plus sept đ„ et une autre expression
telle que deux plus cinq đ„ en ajoutant individuellement les nombres pour obtenir
six et en ajoutant les termes en đ„. Cela fait sept đ„ plus cinq đ„, soit 12đ„.
Nous pouvons ajouter des nombres complexes de la mĂȘme maniĂšre, en nous rappelant que
la lettre đ ne reprĂ©sente pas une variable. Mais il sâagit de la solution Ă lâĂ©quation đ„ au carrĂ© Ă©gale moins un. GĂ©nĂ©ralisons cela pour les nombres complexes đ plus đđ et đ plus đđ. Leur somme est đ plus đđ plus đ plus đđ. Et nous pouvons ajouter les parties rĂ©elles đ et đ, et nous obtenons đ plus đ,
puis ajouter leurs parties imaginaires. Soit đ plus đ. Nous voyons donc que la somme de ces deux nombres complexes est đ plus đ plus đ
plus đ đ.
Leur diffĂ©rence est đ plus đđ moins đ plus đđ. Cette fois, nous ajoutons leurs parties rĂ©elles et nous obtenons đ moins đ. Et nous ajoutons leurs parties imaginaires. Nous obtenons đ. Et puis nous dĂ©veloppons la parenthĂšse et nous obtenons moins đ. La diffĂ©rence est donc đ moins đ plus đ moins đ đ. Donc pour additionner et soustraire des nombres complexes, nous additionnons ou
soustrayons leurs parties réelles et ajoutons ou soustrayons séparément leurs
parties imaginaires.
En fait, ce que nous avons vu jusquâĂ prĂ©sent, câest que nous pouvons prendre un
problÚme de nombres complexes et le transformer en un problÚme de nombres réels en
considérant séparément les parties réelles et imaginaires. Cela est trÚs utile car cela signifie que nous pouvons utiliser les compétences que
nous avons déjà pour des nombres réels et les étendre aux problÚmes de nombres
complexes. Voyons Ă quoi cela pourrait ressembler.
Que vaut moins neuf plus sept plus quatre đ plus moins quatre moins quatre đ
moins un plus trois đ ?
On rappelle que lâon peut additionner ou soustraire des nombres complexes en
ajoutant leurs parties réelles et en ajoutant séparément leurs parties
imaginaires. Ici, nous avons quatre nombres complexes. Alors, cela nây ressemble peut-ĂȘtre pas, mais on peut dire que le moins neuf est
en fait un nombre complexe. Il sâagit de moins neuf plus zĂ©ro đ.
Donc pour résoudre ce problÚme, nous allons commencer par déterminer la partie
rĂ©elle. Elle vaut moins neuf plus sept moins quatre moins un, soit moins sept. De mĂȘme, les parties imaginaires sont zĂ©ro, quatre, moins quatre et moins
trois.
On rappelle que lâon doit dĂ©velopper cette derniĂšre parenthĂšse. Et un nĂ©gatif multipliĂ© par un positif est un nĂ©gatif. Cela nous donne moins trois. La partie rĂ©elle de notre solution est donc moins sept, et la partie imaginaire
est moins trois. Donc moins neuf plus sept plus quatre đ plus moins quatre moins quatre đ moins
un plus trois đ Ă©gale moins sept moins trois đ.
Nous savons aussi que de nombreuses propriĂ©tĂ©s algĂ©briques peuvent ĂȘtre Ă©tendues
à la notion de nombres complexes. Nous aurions pu collecter les termes semblables. En développant cette derniÚre parenthÚse, puis en réorganisant légÚrement, nous
obtenons moins neuf plus sept plus moins quatre moins un plus quatre đ plus
moins quatre đ moins trois đ, ce qui nous donne encore une fois moins sept
moins trois đ. Cette derniĂšre mĂ©thode, collecter les termes semblables, est gĂ©nĂ©ralement celle
que nous utilisons lors de lâaddition et de la soustraction de nombres
complexes.
Il est cependant utile de rappeler quâil existe dâautres mĂ©thodes qui peuvent
fonctionner. Voyons maintenant pourquoi.
Si đ est Ă©gal Ă cinq plus deux đ et đ est Ă©gal Ă neuf moins đ, dĂ©terminez la
partie rĂ©elle de đ moins đ .
Ici, nous avons deux nombres complexes dĂ©finis comme cinq plus deux đ et neuf
moins đ. Nous pouvons voir que la partie rĂ©elle de đ est cinq et la partie rĂ©elle de đ
est neuf. La partie imaginaire de đ est deux et la partie imaginaire de đ est moins
un. On nous demande de dĂ©terminer la partie rĂ©elle de la diffĂ©rence entre đ et
đ . Et nous pourrions absolument trouver la rĂ©ponse complĂšte Ă đ moins đ en
collectant des termes similaires. Cela fait cinq plus deux đ moins neuf moins đ.
Il est important dâutiliser cette parenthĂšse ici car nous soustrayons tout ce qui
sây trouve, soit neuf moins đ. Si nous dĂ©veloppons cette parenthĂšse, nous obtenons cinq plus deux đ moins neuf
plus đ, car soustraire un nĂ©gatif revient Ă ajouter un positif. Ensuite, nous simplifierions en collectant des termes similaires. Cependant, cela requiert un plus grand effort de travail que nĂ©cessaire.
En effet, nous rappelons que, pour soustraire des nombres complexes, nous
soustrayons simplement les parties réelles, puis les parties imaginaires
sĂ©parĂ©ment. On nous demande de dĂ©terminer les parties rĂ©elles du nombre complexe đ moins
đ . Donc en fait, il suffit de soustraire la partie rĂ©elle de đ de la partie rĂ©elle
de đ. Nous pouvons formaliser cela et dire que la partie rĂ©elle de đ moins đ est
Ă©gale Ă la partie rĂ©elle de đ moins la partie rĂ©elle de đ . Nous avons dĂ©jĂ vu que la partie rĂ©elle de đ est cinq et la partie rĂ©elle de đ
est neuf. Cinq moins neuf Ă©gale moins quatre. Donc la partie rĂ©elle de đ moins đ dans ce cas est moins quatre.
Maintenant que nous avons Ă©tabli ce que signifie pour deux nombres complexes dâĂȘtre
Ă©gaux et appris Ă additionner et Ă soustraire des nombres complexes, cela va nous
permettre de résoudre des équations simples impliquant ces types de nombres.
DĂ©terminez les nombres rĂ©els đ„ et đŠ qui vĂ©rifient lâĂ©quation cinq đ„ plus deux
plus trois đŠ moins cinq đ Ă©gale moins trois plus quatre đ.
Regardons attentivement ce qui nous a Ă©tĂ© donnĂ©. On nous a donnĂ© deux nombres complexes dont on nous dit quâils sont Ă©gaux. Alors, bien quâelle nây ressemble pas, lâexpression Ă gauche du signe Ă©gal est
bien un nombre complexe. On rappelle quâun nombre complexe est de la forme đ plus đđ, oĂč đ et đ sont
des nombres rĂ©els. Et on nous dit que đ„ et đŠ sont des nombres rĂ©els. Cela signifie que lâexpression cinq đ„ plus deux doit ĂȘtre rĂ©elle et trois đŠ
moins cinq doit ĂȘtre rĂ©elle. Donc cinq đ„ plus deux plus trois đŠ moins cinq đ est un nombre complexe. Il a une partie rĂ©elle de cinq đ„ plus deux et une partie imaginaire de trois đŠ
moins cinq.
Ensuite, rappelons ce que signifie pour deux nombres complexes dâĂȘtre Ă©gaux. Nous voyons que deux nombres complexes đ plus đđ et đ plus đđ sont Ă©gaux si
đ est Ă©gal Ă đ et đ est Ă©gal Ă đ. En dâautres termes, leurs parties rĂ©elles doivent ĂȘtre Ă©gales et sĂ©parĂ©ment leurs
parties imaginaires doivent ĂȘtre Ă©gales.
Commençons par les parties rĂ©elles de notre question. Nous avons vu que la partie rĂ©elle du nombre complexe Ă gauche est cinq đ„ plus
deux. Et Ă droite, elle vaut moins trois. Cela signifie que cinq đ„ plus deux doit ĂȘtre Ă©gal Ă moins trois. Nous allons rĂ©soudre ce problĂšme normalement en appliquant une sĂ©rie
dâopĂ©rations. Nous soustrayons deux des deux cĂŽtĂ©s, puis nous divisons par cinq. Et nous voyons que đ„ est Ă©gal Ă moins un.
RĂ©pĂ©tons ce processus pour les parties imaginaires. Nous avons dit que la partie imaginaire de notre nombre Ă gauche est trois đŠ
moins cinq. Et Ă droite, on peut voir quâil sâagit de quatre. Cela signifie que trois đŠ moins cinq doit ĂȘtre Ă©gal Ă quatre. Nous pouvons ajouter cinq aux deux cĂŽtĂ©s de cette Ă©quation. Et puis nous divisons par trois. Et nous voyons que đŠ doit ĂȘtre Ă©gal Ă trois. Et nous avons rĂ©solu lâĂ©quation pour đ„ et đŠ. Nous avons đ„ Ă©gale moins un et đŠ Ă©gale trois.
Et il est toujours judicieux de vérifier nos réponses en les replaçant dans
lâĂ©quation et en sâassurant quâelle a toujours du sens. Si nous le faisons, nous obtenons cinq multipliĂ© par moins un plus deux plus
trois multipliĂ© par trois moins cinq đ. Cela nous donne en effet moins trois plus quatre đ comme requis.
Notre dernier exemple utilise tout ce que nous avons vu dans cette vidéo, avec juste
un peu plus de complexité.
Soit đ§ un Ă©gal Ă quatre đ„ plus deux đŠđ et đ§ deux Ă©gal Ă quatre đŠ plus đ„đ,
oĂč đ„ et đŠ sont des nombres rĂ©els. Sachant que đ§ un moins đ§ deux est Ă©gal Ă cinq plus deux đ, dĂ©terminez đ§ un et
đ§ deux.
Regardons attentivement ce qui nous a Ă©tĂ© donnĂ©. On nous a donnĂ© deux nombres complexes en fonction de đ„ et đŠ. Et nous savons que ce sont des nombres complexes parce quâon nous dit que đ„ et
đŠ sont des nombres rĂ©els. Cela est une dĂ©finition importante dâun nombre complexe. Les parties rĂ©elles et imaginaires des nombres complexes doivent ĂȘtre composĂ©es
de nombres réels. On nous dit aussi que la différence entre ces deux nombres est de cinq plus deux
đ.
Rappelons que pour soustraire des nombres complexes, il suffit de soustraire les
parties rĂ©elles, puis sĂ©parĂ©ment de soustraire les parties imaginaires. Cela signifie que la partie rĂ©elle de đ§ un moins đ§ deux doit ĂȘtre Ă©gale Ă la
diffĂ©rence entre les parties rĂ©elles de đ§ un et đ§ deux. La partie rĂ©elle de đ§ un moins đ§ deux est cinq. La partie rĂ©elle de đ§ un est quatre đ„, et la partie rĂ©elle de notre deuxiĂšme
nombre complexe est quatre đŠ. Donc cinq est Ă©gal Ă quatre đ„ moins quatre đŠ.
RĂ©pĂ©tons ce processus pour nos parties imaginaires. La partie imaginaire de la diffĂ©rence est deux. La partie imaginaire de đ§ un est deux đŠ, et la partie imaginaire de đ§ deux est
đ„. Donc deux est Ă©gal Ă deux đŠ moins đ„. Et maintenant, nous voyons que nous avons systĂšme dâĂ©quations en đ„ et đŠ. Nous pouvons utiliser nâimporte quelle mĂ©thode qui nous convient pour les
résoudre.
Par exemple, la substitution se prĂȘte trĂšs bien Ă ces Ă©quations. RĂ©arrangeons cette deuxiĂšme Ă©quation pour isoler đ„. Nous ajoutons đ„ des deux cĂŽtĂ©s, puis soustrayons deux. Et nous obtenons đ„ Ă©gale deux đŠ moins deux. Nous substituons ensuite cela dans notre premiĂšre Ă©quation. Et nous voyons que cinq est Ă©gal Ă quatre fois notre valeur de đ„, qui est deux
đŠ moins deux. Et puis nous soustrayons ces quatre đŠ.
Nous dĂ©veloppons cette parenthĂšse en multipliant chaque terme par quatre. Et nous voyons que cinq est Ă©gal Ă huit đŠ moins huit moins quatre đŠ. Huit đŠ moins quatre đŠ Ă©gale quatre đŠ. Nous rĂ©solvons cette Ă©quation en ajoutant huit des deux cĂŽtĂ©s pour obtenir 13
Ă©gale quatre đŠ. Et puis nous divisons par quatre. Et nous voyons que đŠ est Ă©gal Ă 13 sur quatre.
Nous pourrions replacer cette valeur dans nâimporte laquelle de nos Ă©quations
dâorigine. Mais il est judicieux de choisir la forme rĂ©arrangĂ©e de la deuxiĂšme Ă©quation. Nous avons đ„ est Ă©gal Ă deux multipliĂ© par 13 sur quatre moins deux. Deux multipliĂ© par 13 sur quatre est Ă©gal Ă 13 sur deux. Et deux est Ă©gal Ă quatre sur deux. 13 sur deux moins quatre sur deux est Ă©gal Ă neuf sur deux. Et nous nous arrĂȘtons gĂ©nĂ©ralement Ă ce stade.
Mais on nous a demandĂ© de dĂ©terminer les nombres complexes đ§ un et đ§ deux. Nous devons donc substituer nos valeurs pour đ„ et đŠ dans chacun de ces
nombres. Nous obtenons đ§ un est Ă©gal Ă quatre multipliĂ© par neuf sur deux plus deux
multipliĂ© par 13 sur quatre đ. Soit 18 plus 13 sur deux đ. Et nous avons đ§ deux Ă©gale quatre multipliĂ© par 13 sur quatre plus neuf sur deux
đ. Soit 13 plus neuf sur deux đ.
Et il est judicieux de vĂ©rifier notre rĂ©ponse en soustrayant đ§ deux de đ§ un et
en vĂ©rifiant que nous obtenons bien cinq plus deux đ. Nous soustrayons leurs parties rĂ©elles. 18 moins 13 Ă©gale cinq, comme requis. Et nous soustrayons leurs parties imaginaires. 13 sur deux moins neuf sur deux Ă©gale quatre sur deux, soit deux. La partie imaginaire est donc deux comme requis.
Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons transformer un problÚme de nombres
complexes en un problÚme de nombres réels en considérant séparément leurs parties
rĂ©elles et imaginaires. Et nous avons vu que cela peut ĂȘtre utile car nous savons dĂ©jĂ ajouter, soustraire et
égaliser des nombres réels. Nous avons également appris que nous pouvons étendre des rÚgles pour les expressions
algébriques pour travailler avec des nombres complexes.
Nous avons vu que deux nombres complexes sont égaux si, séparément, leurs parties
réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Et enfin, nous avons appris que nous pouvons additionner et soustraire des nombres
complexes en additionnant ou en soustrayant leurs parties réelles et en ajoutant ou
en soustrayant leurs parties imaginaires.