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Vidéo de question : Déterminer la masse d’un ballon contenant un gaz idéal Physique

On rajoute de l’air dans un ballon, ce qui fait augmenter son volume comme indiqué sur la figure. La pression de l’air dans le ballon est de 101 kPa avant gonflage et de 121 kPa après gonflage. La température de l’air dans le ballon ne change pas pendant le gonflage. On peut supposer que l’air se comporte comme un gaz parfait. Détermine la masse du ballon après gonflage en pourcentage de la masse du ballon avant gonflage. On arrondira le résultat à l’unité.

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Transcription de vidéo

On rajoute de l’air dans un ballon, ce qui fait augmenter son volume comme indiqué sur la figure. La pression de l’air dans le ballon est de 101 kilopascals avant gonflage et de 121 kilopascals après gonflage. La température de l’air dans le ballon ne change pas pendant le gonflage. On peut supposer que l’air se comporte comme un gaz parfait. Détermine la masse du ballon après gonflage en pourcentage de la masse du ballon avant gonflage. On arrondira le résultat à l’unité.

Dans cette question, nous avons un ballon qui est gonflé de sorte que son volume passe de 0,012 mètres cubes à 0,033 mètres cubes. Nous devons déterminer la masse finale du ballon en pourcentage de sa masse initiale. C’est une question assez inhabituelle. Généralement, lorsqu’on s’intéresse aux gaz parfaits, nous avons une quantité fixe de gaz et il est question de changements de pression, de volume ou de température. Mais, dans cette question, la quantité de gaz à laquelle on s’intéresse change. Lorsque le ballon est gonflé, la quantité de gaz qu’il contient augmente, tout comme sa masse.

Pour faire de la place à l’écran, commençons par rappeler la loi des gaz parfaits pour une quantité fixe de gaz. Ceci est souvent écrit sous la forme 𝑃 fois 𝑉 égale 𝑘 fois 𝑇, où 𝑃 est la pression du gaz, 𝑉 est le volume et 𝑇 est la température. Ici, 𝑘 est une constante. Si nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝑇, nous pouvons exprimer 𝑘, 𝑘 égale 𝑃 fois 𝑉 divisé par 𝑇. Lorsqu’on considère une quantité fixe de gaz, 𝑘 a une valeur constante. Mais il s’avère que 𝑘 est en fait proportionnel au nombre total de particules dans le gaz, 𝑁. Donc, si la quantité de gaz n’est pas fixe, 𝑘 n’est pas un nombre constant. En utilisant le fait que 𝑘 est proportionnel au nombre de particules de gaz, 𝑁, nous pouvons réécrire l’équation des gaz parfaits d’une manière plus utile. 𝑃 fois 𝑉 divisé par 𝑇 est proportionnel à 𝑁.

Alors, comment pouvons-nous relier cela à la masse du gaz ? Eh bien, la masse totale d’un volume de gaz, que nous appellerons 𝑚 indice gaz, est égale au nombre de particules dans le gaz, 𝑁, multiplié par la masse de chaque particule de gaz. Si nous divisons les deux côtés de cette équation par la masse d’une particule de gaz individuelle, nous obtenons que le nombre de particules, 𝑁, est égal à la masse totale du gaz divisée par la masse de chaque particule. Maintenant, remplaçons cela dans l’expression de la loi des gaz parfaits. Cela nous donne 𝑃 fois 𝑉 divisé par 𝑇 proportionnelle à la masse du gaz divisée par la masse de la particule de gaz unique. Comme la masse de la particule a une valeur constante, nous pouvons la faire passer dans la relation de proportionnalité. Cela nous donne 𝑃 fois 𝑉 divisé par 𝑇 est proportionnelle à la masse du gaz.

Avec cette relation de masse, nous pouvons maintenant répondre à cette question. Nous devons déterminer la masse du ballon après gonflage en pourcentage de sa masse initiale. Faisons un peu de place pour travailler et nous allons appeler la masse initiale du ballon 𝑚 un et sa masse finale 𝑚 deux. En pourcentage de la masse initiale, la masse finale est égale à 𝑚 deux divisé par 𝑚 un multiplié par 100. En utilisant l’expression de la masse d’un gaz, nous pouvons réécrire ceci en fonction de la pression, du volume et de la température de l’air dans le ballon. En pourcentage de 𝑚 un, 𝑚 deux est égal à 𝑃 deux fois 𝑉 deux divisé par 𝑇 deux tous divisés par 𝑃 une fois 𝑉 un divisé par 𝑇 un tous multipliés par 100.

On nous dit qu’avant le gonflage du ballon, la pression de l’air dans le ballon est de 101 kilopascals et que son volume est de 0,012 mètres cubes. On ne nous donne pas la température initiale de l’air dans le ballon, nous allons donc l’appeler 𝑇. Après le gonflage du ballon, la pression de l’air dans le ballon est de 121 kilopascals et son volume est de 0,033 mètres cubes. On nous dit que la température du ballon ne change pas, donc 𝑇 deux vaut aussi 𝑇.

Maintenant, nous pouvons remplacer ces valeurs dans notre équation. Nous voyons que ces deux termes 𝑇 se simplifient. Ainsi, en pourcentage de 𝑚 un, 𝑚 deux est égal à 121 kilopascals fois 0,033 mètre cube divisé par 101 kilopascals fois 0,012 mètre cube. En faisant le calcul, nous obtenons une valeur de 329,455 pour cent. Lorsque nous arrondissons cela au pourcentage le plus proche, nous obtenons 329 pour cent.

Nous avons obtenu que la masse du ballon gonflé est égale à 329 pour cent de sa masse initiale. La réponse à cette question est donc 329 pour cent.

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