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Vidéo de question : Accélération sur une distance au cours du temps Physique

La courbe montre la variation de vecteur vitesse d’un objet en fonction du temps. Quelle est le vecteur vitesse de l’objet à 𝑡 = 0 ? Pendant combien de temps l’objet accélère-t-il ? Quelle est le vecteur vitesse de l’objet après qu’il ait accéléré ? Quelle est l’accélération de l’objet ? Quel est le déplacement de l’objet ?

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Transcription de vidéo

La courbe montre la variation du vecteur vitesse d’un objet en fonction du temps.

Maintenant, nous pouvons voir qu’on nous a donné un graphique avec le vecteur vitesse sur l’axe vertical en mètres par seconde et le temps sur l’axe horizontal en secondes. Nous pouvons aussi voir qu’après zéro secondes, l’objet commence avec un vecteur vitesse de 20 mètres par seconde, alors qu’après 15 secondes le vecteur vitesse de l’objet a augmenté jusqu’à 50 mètres par seconde. Et nous pouvons voir que cette augmentation de vecteur vitesse se produit à un taux constant parce que la pente de cette courbe est constante. En d’autres mots, le tracé bleu est une droite. Et ainsi, le vecteur vitesse de l’objet augmente de la même quantité pour chaque unité de temps qui passe.

Maintenant, la première question nous demande : Quelle est le vecteur vitesse de l’objet à 𝑡 égal zéro ?

En d’autres mots, on nous demande de trouver le vecteur vitesse de l’objet au moment où 𝑡 est égal à zéro au début de sa trajectoire, ou du moins au début de la partie tracée sur ce graphique. Ainsi, lorsque le temps est 𝑡 égal zéro, nous pouvons voir que le vecteur vitesse de l’objet est de 20 mètres par seconde. Et donc, c’est notre réponse à la première question. Écrivons ces informations ici et regardons ensuite la question suivante.

Pendant combien de temps l’objet accélère-t-il ?

Alors, cette question nous demande de trouver la durée pendant laquelle l’objet accélère. Et une accélération implique un changement de vecteur vitesse, qu’il s’agisse d’une augmentation du vecteur vitesse ou d’une diminution du vecteur vitesse. Maintenant, dans ce cas, nous pouvons voir que le vecteur vitesse de l’objet augmente au cours du temps. Mais plus particulièrement, le vecteur vitesse de l’objet augmente sur tout l’ensemble du graphique. En d’autres mots, pendant toute la durée de 15 secondes que nous avons tracée sur le graphique, le vecteur vitesse varie et donc l’objet accélère. Et donc notre réponse à cette partie de la question est que l’objet accélère pendant 15 secondes. Écrivons cette information ici et passons à la question suivante.

Quelle est le vecteur vitesse de l’objet après qu’il ait accéléré ?

Alors, nous savons donc que l’objet commence à accélérer à cet instant-ci. Et nous avons dit qu’il finit d’accélérer à cet instant-là lorsque nous finissons de tracer le graphique. Nous devons déterminer le vecteur vitesse de l’objet à ce point, c’est-à-dire après qu’il a fini d’accélérer. Et donc, afin de déterminer cette quantité, il suffit de regarder tout droit vers l’axe vertical et de voir que la valeur du vecteur vitesse est de 50 mètres par seconde. Et c’est donc notre réponse à cette partie de la question. Notons également cette information ici. Et regardons la prochaine partie de la question.

Quelle est l’accélération de l’objet ?

Maintenant, pour calculer l’accélération de l’objet, il y a deux façons de procéder. D’une part, nous pouvons rappeler que l’accélération d’un objet est définie comme la variation de vecteur vitesse de l’objet divisé par le temps nécessaire pour que ce changement de vecteur vitesse se produise. Et donc dans ce scénario en particulier, nous pouvons dire que l’accélération de notre objet est égale à son vecteur vitesse final qui est de 50 mètres par seconde moins son vecteur vitesse initial qui est de 20 mètres par seconde divisée par le temps sur lequel cette accélération se produit, que nous le savons d’avant est de 15 secondes. Et d’ailleurs, la variation de vecteur vitesse est égale au vecteur vitesse final moins le vecteur vitesse initial. C’est pourquoi nous avons soustrait le vecteur vitesse initial du vecteur vitesse final afin de nous donner ∆𝑣 soit une variation de vecteur vitesse.

Mais de toute façon, en calculant la valeur du côté droit, nous voyons d’abord que le numérateur sera en mètres par seconde parce que ces deux grandeurs sont en mètres par seconde et nous divisons cela par des secondes. Donc, l’unité de l’accélération sera le mètre par seconde, divisé par des secondes, ou, en d’autres mots, mètre par seconde carrée, ce qui est parfait car c’est l’unité de l’accélération. Calculer cette valeur donne 50 moins 20 divisé par 15 et l’unité est évidemment le mètre par seconde carrée, et nous constatons que l’accélération de l’objet est de deux mètres par seconde carrée. En d’autres mots, à chaque seconde, le vecteur vitesse de l’objet augmente de deux mètres par seconde. Or, elle commence à 20 mètres par seconde. Alors une seconde plus tard, le vecteur vitesse est de 22 mètres par seconde. Une autre seconde plus tard, il est de 24 mètres par seconde, et ainsi de suite. Jusqu’à 15 secondes plus tard, son vecteur vitesse est de 50 mètres par seconde.

Maintenant, une autre façon de trouver l’accélération de cet objet est de trouver la pente de la droite. Parce que la courbe représente le mouvement de l’objet et que la pente d’une courbe vecteur vitesse-temps nous donnera l’accélération de l’objet. En fait, mathématiquement, cela finit par donner la même chose. Parce que pour trouver la pente, nous cherchons la variation des coordonnées selon l’axe vertical et nous la divisons par la variation des coordonnées selon l’axe horizontal. Et la variation des coordonnées de l’axe vertical finit par être de 50 moins 20 mètres par seconde et la variation des coordonnées de l’axe horizontal finit par être de 15 moins zéro seconde. Donc, mathématiquement, nous faisons exactement le même calcul et obtenons exactement la même réponse. Et donc on peut dire que l’accélération de l’objet est de deux mètres par seconde au carré. Écrivons cette information ici, et nous pouvons passer à la dernière partie de la question.

Quel est le déplacement de l’objet ?

Alors maintenant, nous sommes en train de déterminer de quelle distance l’objet se déplace en ligne droite en accélérant de 20 mètres par seconde à 50 mètres par seconde. Alors, il y a deux façons de faire cela. La première façon est de se rappeler que l’aire sous une courbe vecteur vitesse-temps va nous donner le déplacement de l’objet en question. Et donc si nous voulons trouver le déplacement de l’objet, nous devons trouver cette aire ici, en d’autres mots, entre zéro seconde et 15 secondes et entre la droite elle-même, la droite bleue, et l’axe horizontal.

Maintenant, le moyen le plus simple de faire cela est de diviser la zone en deux morceaux. Le premier morceau est le rectangle que nous avons délimité ici, et le deuxième morceau est ce triangle. Alors nommons chaque morceau. Disons que le rectangle s’appelle aire un et le triangle s’appelle aire deux. On peut alors dire que le déplacement de l’objet que nous appellerons 𝑠 est égal à l’aire totale sous la droite. Et donc, nous pouvons dire que cette aire totale est égale à l’aire un plus l’aire deux. Commençons donc par trouver l’aire un, l’aire du rectangle.

On peut rappeler que l’aire d’un rectangle est égale à sa largeur multipliée par sa hauteur. Maintenant, la largeur du rectangle est égale à 15 moins zéro seconde, ce qui finit par être de 15 secondes. Et la hauteur du rectangle est égale à 20 moins zéro mètre par seconde, ce qui donne 20 mètres par seconde. Maintenant, dans ces deux cas, nous avons pensé à inclure les unités car rappelez-vous que l’axe horizontal est l’axe des temps et l’axe vertical est l’axe des vitesses. Mais de toute façon, on peut donc dire que la zone un est égale à la largeur, qui est de 15 secondes, multipliée par la hauteur, qui est de 20 mètres par seconde. Et lorsque nous calculons cela, nous constatons que les secondes ici s’annulent avec les secondes au dénominateur. Et ce qui nous reste sont des mètres.

Donc, l’aire un, l’aire du rectangle sur le graphique, représente 15 fois 20 mètres. Et cela donne 300 mètres. Maintenant, ces 300 mètres ou, en d’autres mots, l’aire du rectangle - l’aire un - représente la distance totale parcourue par l’objet s’il n’avait pas accéléré et s’il était resté à 20 mètres par seconde de manière constante tout au long de son voyage. Mais nous savons que l’objet accélère. Il va de plus en plus vite. Et donc, il va parcourir une distance plus grande que d’habitude. Et cette distance supplémentaire parcourue en raison de l’accélération de l’objet est donnée par l’aire deux, l’aire du triangle. Alors, calculons maintenant l’aire deux.

Pour ce faire, nous pouvons rappeler que l’aire d’un triangle, que nous appellerons 𝐴 indice triangle, est égale à un demi multiplié par la base du triangle multipliée par sa hauteur. Or, la base du triangle est tout simplement de la même longueur que la base du rectangle. Elle correspond à 15 secondes. Et la hauteur est cette distance ici ou, en d’autres termes, cette longueur ici. Et cette longueur correspond à 50 moins 20 mètres par seconde. Et donc, en d’autres mots, la hauteur du triangle est de 30 mètres par seconde. Et donc, maintenant, nous pouvons dire que l’aire du triangle – l’aire deux - est égale à un demi multiplié par la base, que nous avons vue est de 15 secondes, multipliée par la hauteur, que nous avons vue est de 30 mètres par seconde. Et lorsque nous calculons cela, nous voyons une fois de plus que les secondes s’annulent avec les secondes au dénominateur ici. Nous nous retrouvons donc avec des mètres comme unité finale. Et tout cela donne 225 mètres.

Et donc à ce stade, nous avons calculé l’aire un et l’aire deux. Alors maintenant, tout ce qui nous reste à faire pour calculer le déplacement total de l’objet lorsqu’il accélère est d’ajouter les deux grandeurs, aire un plus aire deux. Mais avant de faire cela, il convient de noter que nous avons dit avoir calculé l’aire sous cette courbe. Et pourtant, chacune de ces aires est en mètres. Eh bien, cela est dû au fait que nous avons réellement calculé l’aire physique sous cette courbe, mais ces aires représentent un déplacement. Et pour trouver ces aires physiques, nous avons multiplié des mètres par seconde par des secondes. En d’autres mots, ces grandeurs ne représentent pas des aires dans la vie réelle. Elles représentent un déplacement. La seule aire à laquelle nous pensons réellement est celle que nous pourrions dessiner si cette courbe était sur un morceau de papier : dans ce cas l’aire physique sur ce morceau de papier sous la courbe serait ce que nous avons calculé.

Peu importe, donc, en revenant à notre calcul, nous pouvons dire que le déplacement de l’objet est égal à l’aire un, qui est de 300 mètres, plus l’aire deux, qui est de 225 mètres. Et tout cela donne 525 mètres. Donc, à ce stade, nous avons trouvé le déplacement de l’objet.

Cependant, nous aurions pu le faire d’une autre manière. Nous aurions pu utiliser l’équation cinétique suivante : 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré, où, comme nous l’avons déjà vu, 𝑠 est le déplacement de l’objet. 𝑢 est le vecteur vitesse initial, que nous savons déjà, est de 20 mètres par seconde. 𝑡 est le temps pendant lequel l’objet accélère, que nous connaissons aussi : 15 secondes. Et 𝑎 est l’accélération de l’objet lui-même, que nous avons calculé comme étant de deux mètres par seconde au carré. Et cette équation cinétique nous donnera exactement la même réponse. Essayez-le par vous-même. Mettez cette vidéo en pause et servez-vous de ces grandeurs et de cette équation cinétique pour trouver le déplacement de l’objet. Pour l’instant, cependant, nous avons trouvé la réponse à la dernière partie de notre question. Le déplacement de l’objet est de 525 mètres.

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