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Vidéo de question : Déterminer la mesure d’un angle dans un quadrilatère inscriptible sachant la mesure de l’angle opposé Mathématiques

Déterminez 𝑚∠𝐵𝐶𝐷.

03:25

Transcription de vidéo

Déterminez la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷.

Alors, j’ai commencé par marquer l’angle que nous recherchons. Il s’agit de l’angle 𝐵𝐶𝐷. Nous savons qu’il s’agit de celui-là car le 𝐶 est au milieu, c’est donc ici que se situe l’angle. Alors, comment pouvons-nous déterminer cet angle ? Bien, nous allons utiliser le fait que nous avons ici un quadrilatère inscriptible. Seulement, qu’est-ce qu’un quadrilatère inscriptible ? Bien, un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets touchent la circonférence d’un cercle. Nous pouvons donc voir ici que nos quatre sommets, ou encore les coins, touchent tous la circonférence de notre cercle. Nous savons aussi que nous avons un quadrilatère car il s’agit d’une figure à quatre côtés.

Bien. Nous savons que nous avons un quadrilatère inscriptible, cependant, à quoi sert cette information ? Nous connaissons une autre propriété d’un quadrilatère inscriptible. En effet, dans un quadrilatère inscriptible, la somme d’une paire d’angles opposés est égale à 180 degrés. Bien, cette propriété est vraiment utile car cela nous montre comment résoudre cette question. Cependant, comment savons-nous que la somme de deux angles opposés est égale à 180 degrés ? Bien, je vais rapidement démontrer pourquoi c’est le cas.

Je vais tout d’abord marquer le point central de notre cercle. Ensuite, je trace des rayons jusqu’à chacun des quatre sommets de notre quadrilatère. Bien, puisque nous avons quatre rayons, nous savons qu’ils auront tous la même longueur. Ainsi, cela nous dit que nous avons, en fait, quatre triangles isocèles. Nous allons donc avoir des paires d’angles de même mesure, que j’ai montrées ici. Nous avons donc 𝑤 et 𝑤, nous avons 𝑥 et 𝑥, 𝑦 et 𝑦 puis, 𝑧 et 𝑧. Ces angles doivent être de même mesure car ce sont les angles de base d’un triangle isocèle.

Bien, nous savons que la somme des angles 𝐴𝐵𝐶𝐷 doit être égale à 360 degrés car il s’agit d’un quadrilatère. Nous pouvons donc dire que 𝑤 plus 𝑥 plus 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑦 plus 𝑧 plus 𝑧 plus 𝑤 doit être égal à 360 degrés. Par conséquent, deux 𝑤 plus deux 𝑥 plus deux 𝑦 plus deux 𝑧 doit être égal à 360 degrés. Ainsi, si nous divisons par deux, nous avons 𝑤 plus 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 est égal à 180 degrés. Par conséquent l’angle 𝐴 plus 𝐶 sera égal à 𝑤 plus 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧, qui est égal à 180 degrés car ils contiennent chacun nos composantes 𝑤, 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Puis, l’autre paire opposée, 𝐵 et 𝐷, sera égale à 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧 plus 𝑤, qui sera aussi égal à 180 degrés.

Nous avons donc montré comment la somme des paires d’angles opposés dans un quadrilatère inscriptible est égale à 180 degrés. Alors maintenant, utilisons cela et déterminons l’angle que nous recherchons. Bien, la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷 sera égale à 180 moins 78. En effet, 𝐵𝐶𝐷 est opposé à 𝐵𝐴𝐷. Ainsi, cela va nous donner un angle de 102 degrés.

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