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Vidéo de question : Trouver les équations des tangentes à la courbe d'une fonction du second degré aux points d'intersection de la courbe avec l'axe des 𝑥 Mathématiques

Déterminez les équations des tangentes de la courbe d’équation 𝑦 = (𝑥 + 8)(𝑥 + 10) en les points d'intersection de la courbe avec l'axe des 𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez les équations des tangentes de la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑥 plus huit multiplié par 𝑥 plus 10 en les points d'intersection de la courbe avec l'axe des 𝑥.

On va commencer par déterminer les coordonnées de ces points. On cherche les points d'intersection de la courbe avec l'axe des 𝑥. On sait que partout sur l'axe des 𝑥, l'ordonnée 𝑦 sera égale à zéro. En posant notre équation pour 𝑦 égale à zéro, on obtient donc une équation que l'on peut résoudre pour trouver les coordonnées en 𝑥 des points d'intersection de la courbe avec l'axe des 𝑥.

Il s'agit d'une équation du second degré sous sa forme factorisée. On peut donc prendre chaque facteur à part, le poser égal à zéro, et résoudre l'équation linéaire résultante, ce qui donne 𝑥 plus huit égale zéro, ce qui donne 𝑥 égale moins huit et 𝑥 plus 10 égale zéro, ce qui donne 𝑥 égale moins 10. Les deux points d'intersection de cette courbe avec l'axe des 𝑥 sont alors les points moins 10, zéro et moins 8, zéro. On peut tracer cette courbe, si on veut. C’est une courbe d'une fonction du second degré dont le coefficient directeur est positif et qui coupe l'axe des 𝑥 aux points moins 10 et moins 8. Ça ressemble donc un peu à ça.

On cherche alors à trouver les équations des droites qui sont tangentes à cette courbe aux points où elle coupe l'axe des 𝑥. Ce sont donc les deux droites dessinées en vert. Rappelons que l’équation de la droite passant par le point 𝑥 un, 𝑦 un et de pente 𝑚 est donnée par 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. On connaît les coordonnées d'un point sur chacune de nos droites tangentes. Donc pour appliquer cette formule, il nous faut déterminer leurs pentes. Pour cela, rappelons que la pente de la droite tangente à une courbe en un point donné est la même que la pente de la courbe elle-même en ce point, que l'on peut trouver en calculant sa dérivée première.

Avant de procéder à la dérivation, il convient de développer notre expression pour cette courbe, ce qui donne 𝑦 égale 𝑥 au carré plus 18𝑥 plus 80, donc un polynôme. On rappelle alors la règle de la dérivation des puissances, qui dit que la dérivée par rapport à 𝑥 d'un terme général 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 pour des valeurs réelles de 𝑎 et 𝑛 est égale à 𝑎𝑛 multiplié par 𝑥 puissance 𝑛 moins un. On multiple par l'exposant puis on réduit l'exposant de un.

On peut maintenant appliquer cette règle de dérivation des puissances pour trouver la dérivée de notre fonction 𝑦. La dérivée de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est deux 𝑥. La dérivée de 18𝑥 est 18, ce qui est évident si on considère que 18𝑥 est 18 fois 𝑥 à la puissance un. Et finalement, la dérivée d'un terme constant 80 est nulle, ce qui peut être vu comme 80 fois 𝑥 à la puissance zéro. On constate alors que l'équation générale de la pente de notre courbe d𝑦 sur d𝑥 est égale à deux 𝑥 plus 18.

Il faut alors évaluer la pente en chacun des points qui nous intéressent. Tout d'abord, lorsque 𝑥 est égal à moins 10, la pente sera égale à deux fois moins 10 plus 18. On obtient donc moins 20 plus 18, ce qui donne moins deux. Ensuite, lorsque 𝑥 vaut moins huit, la pente sera égale à deux fois moins huit plus 18. C'est-à-dire moins 16 plus 18, soit deux. Notez que cela correspond à ce que nous avons vu sur notre dessin. La droite tangente au point où 𝑥 égale moins 10 a une pente négative. Tandis que la tangente au point où 𝑥 égale moins 8 a une pente positive.

Nous pouvons ensuite utiliser l'équation générale de notre droite. Sur le point de coordonnées moins 10, zéro où la pente égale moins deux, on a l'équation 𝑦 moins zéro égale moins deux fois 𝑥 moins moins 10. Ce qui revient à dire que 𝑦 est égal à moins deux fois 𝑥 plus 10. Enfin, en développant le calcul, on obtient 𝑦 égale moins deux 𝑥 moins 20. On peut alors réunir tous les termes à gauche de l'équation pour donner l'équation de cette tangente sous la forme 𝑦 plus deux 𝑥 plus 20 égale à zéro.

Pour l'autre tangente au point moins huit, zéro où la pente est égale à deux, nous avons l'équation 𝑦 moins zéro égale deux fois 𝑥 moins moins huit. Qui se simplifie en 𝑦 égale deux fois 𝑥 plus huit. Et si on développe cette expression on obtient 𝑦 égale deux 𝑥 plus 16. Là encore, en réunissant tous les termes à gauche de l'équation, on obtient l'équation de cette droite tangente sous la forme 𝑦 moins deux 𝑥 moins 16 égale zéro.

Nous avons donc répondu à la question et avons trouvé les équations des deux droites qui sont tangentes à cette courbe aux points d'intersection avec l'axe des 𝑥. Elles sont 𝑦 plus deux 𝑥 plus 20 égale zéro et 𝑦 moins deux 𝑥 moins 16 égale zéro.

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