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Vidéo de question : Évaluer une expression à l’aide des propriétés du déterminant Mathématiques

Si det (𝐴) = 2, det (𝐵) = 3, et la dimension de 𝐴 et celle de 𝐵 est 2x2, alors déterminez la valeur de det (2𝐴) + det (3𝐵) + det (𝐴𝐵) en utilisant les propriétés des déterminants.

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Transcription de vidéo

Si déterminant de 𝐴 égale deux, déterminant de 𝐵 égale trois, et la dimension de 𝐴 et celle de 𝐵 est deux fois deux, alors déterminez la valeur de déterminant de deux 𝐴 plus déterminant de trois 𝐵 plus déterminant de 𝐴 fois 𝐵 en utilisant les propriétés des déterminants.

Dans cette question, on nous donne des informations sur deux matrices 𝐴 et 𝐵. On nous dit que ces deux matrices sont des matrices carrées de même dimension ; ce sont deux matrices deux fois deux. Ensuite, on nous donne le déterminant de chaque matrice. Le déterminant de la matrice 𝐴 est deux et le déterminant de la matrice 𝐵 est trois. Nous devons utiliser ces informations pour évaluer le déterminant de deux 𝐴 plus le déterminant de trois 𝐵 plus le déterminant de la matrice 𝐴 fois la matrice 𝐵.

Nous pouvons essayer de résoudre ce problème en utilisant la définition du déterminant. Cependant, on nous dit de le faire en utilisant la propriété des déterminants. Et en fait, c’est une bonne idée car cela nous facilitera la tâche. Pour utiliser les propriétés des déterminants, commençons par examiner chaque terme de l’expression que nous devons évaluer.

Nous pouvons voir que les deux premiers termes sont les déterminants d’un scalaire multiplié par une matrice. Et nous savons qu’il est possible d’évaluer de tels déterminants en utilisant l’une de nos propriétés du déterminant. Nous pouvons rappeler que si 𝑀 est une matrice carrée de dimension 𝑛 fois 𝑛, alors pour tout scalaire 𝐾 le déterminant de 𝐾𝑀 est égal à 𝐾 puissance 𝑛 multiplié par le déterminant de 𝑀. Nous pouvons utiliser cette propriété pour évaluer les deux premiers termes de cette expression.

Le déterminant de deux fois 𝐴 est égal à deux au carré fois le déterminant de 𝐴 car on nous dit que 𝐴 est une matrice deux fois deux. Et nous pouvons continuer à évaluer. On nous dit dans la question que le déterminant de la matrice 𝐴 est deux. Cela nous donne deux au carré fois deux, ce qui est égal à deux au cube, soit huit.

On peut ensuite faire de même pour évaluer le deuxième terme, le déterminant de trois fois 𝐵. On sait que 𝐵 est aussi une matrice deux fois deux. Par conséquent, le déterminant de trois 𝐵 est égal à trois au carré multiplié par le déterminant de 𝐵. Et on nous dit dans la question que le déterminant de 𝐵 est trois. Nous avons donc trois au carré fois trois, ce qui est égal à trois au cube, soit 27.

Maintenant, il nous suffit d’évaluer le troisième terme de cette expression, le déterminant de 𝐴 multipliée par 𝐵. Et nous pouvons faire cela en utilisant l’une des propriétés des déterminants. Si 𝑀 un et 𝑀 deux sont des matrices carrées de même dimension, alors le déterminant de 𝑀 un fois 𝑀 deux est égal au déterminant de 𝑀 un multiplié par le déterminant de 𝑀 deux. Et bien sûr, on nous dit dans la question que les deux matrices 𝐴 et 𝐵 sont des matrices carrées de dimension deux fois deux. Donc, nous pouvons réécrire ceci comme le déterminant de la matrice 𝐴 fois le déterminant de la matrice 𝐵. Et on nous dit dans la question que le déterminant de 𝐴 vaut deux et que le déterminant de 𝐵 vaut trois. Donc, cela est équivalent à deux fois trois, qui est égal à six.

Maintenant, il ne nous reste plus qu’à substituer les trois valeurs que nous avons obtenues dans cette expression. Et donc le déterminant de deux 𝐴 plus le déterminant de trois 𝐵 plus le déterminant de 𝐴𝐵 est égal à huit plus 27 plus six, ce qui est égal à 41. Par conséquent, en utilisant les propriétés des déterminants, nous avons pu évaluer l’expression qui nous a été donnée dans la question ; sa valeur est de 41.

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