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Vidéo de question : Analyse du mouvement de deux corps suspendus librement reliés par une corde passant par une poulie Mathématiques

Deux objets de masses 644 g et 156 g sont attachés aux extrémités d’une corde légère inextensible qui passe sur une poulie lisse. Le système a été relâché de l’état de repos et, après 2 secondes, l’objet de plus grande masse tombe à terre. Déterminez la hauteur maximale que l’objet de plus petite masse atteint par rapport à sa position initiale. On prendra l’accélération gravitationnelle 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Deux corps de masses de 644 grammes et 156 grammes sont attachés aux extrémités d’une corde légère inextensible qui passe sur une poulie lisse. Le système a été relâché de l’état de repos et, après 2 secondes, l’objet de plus grande masse tombe à terre. Déterminez la hauteur maximale que l’objet de plus petite masse atteint par rapport à sa position initiale. On prendra l’accélération gravitationnelle 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous allons commencer par faire un schéma pour modéliser la situation. Nous avons deux corps A et B de masses 644 grammes et 156 grammes. Ils sont reliés par une corde fine et inextensible qui passe par une poulie lisse. Comme la poulie est lisse, nous savons que la tension sera constante le long de la corde. Les corps vont exercer une force vers le bas égale à leur masse multipliée par l’accélération de la pesanteur. On nous dit que ceci est égal à 9,8 mètres par seconde au carré, ce qui équivaut à 980 centimètres par seconde au carré. Le corps A exerce une force dirigée vers le bas qui vaut 944 grammes multipliée par 980 centimètres par seconde au carré. Ce qui est égal à 631,120 dynes. Et le corps B exerce une force dirigée vers le bas de 156 grammes multipliée par 980 centimètres par seconde au carré, ce qui est égal à 152,880 dynes.

Lorsque le système au repos est libéré, le corps A va accélérer vers le bas et le corps B va accélérer vers le haut. Comme la chaîne est inextensible, l’accélération du système sera constante. On nous dit que le corps le plus lourd touche le sol après deux secondes. Durant cet intervalle de temps, les deux corps auront parcouru la même distance. Et on nous demande de déterminer la hauteur maximale atteinte par la masse la plus légère au-dessus de sa position initiale. Une fois que le corps A touche le sol, la corde se relâche et le corps B continue de se déplacer à cause de la gravité.

Nous allons commencer à traiter ce problème en utilisant la deuxième loi de Newton, qui dit que 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. Le vecteur somme des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération. Il existe deux forces agissant sur le corps A. Et si nous définissons le sens positif vers le bas, la somme de ces forces vaut 631,120 moins 𝑇. Ceci est égal à la masse 644 grammes multipliée par 𝑎. Nous allons appeler ceci l’équation une.

En faisant de même pour le corps B en considérant que le sens positif est vertical vers le haut, nous avons 𝑇 moins 152,880 égal à 156𝑎. Nous appelons ceci l’équation deux. Nous avons maintenant un système de deux équations. Et nous pouvons éliminer la force de tension 𝑇 en sommant les équations une et deux. Cela nous donne 478,240 égal à 800𝑎. Nous pouvons alors diviser par 800, ce qui nous donne 𝑎 égale à 597,8. Il s’agit de l’accélération du système en centimètres par seconde au carré.

Nous pouvons maintenant utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré, ou les équations du MRUA, pour déterminer le déplacement du corps B. Comme nous l’avons déjà vu, il y a deux parties à traiter, d’abord le déplacement de l’ensemble du système pendant les deux premières secondes. Nous savons que la vitesse initiale 𝑢 est égale à zéro centimètre par seconde. Nous venons de calculer l’accélération 𝑎, qui vaut 597,8 centimètres par seconde au carré. Comme 𝑡 est égal à deux, nous pouvons utiliser l’équation 𝑠 égale 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. Comme 𝑢 est égal à zéro, cela se simplifie en 𝑠 égal à un demi multiplié par 597,8 multiplié par deux au carré. 𝑠 est donc égal à 1195.6. Pendant les deux premières secondes, les deux corps parcourent une distance de 1195,6 centimètres.

Nous pouvons calculer la vitesse des corps à cet instant en utilisant l’équation 𝑣 égale 𝑢 plus 𝑎𝑡. Comme 𝑢 est égal à zéro, 𝑣 est égal à 597,8 multiplié par deux. Ceci est également égal à 1195,6. Au moment où le corps A atteint le sol, le système se déplace à une vitesse de 1195,6 centimètres par seconde. C’est la vitesse initiale au moment où la corde se relâche. Nous savons que lorsque le corps B atteint sa hauteur maximale, sa vitesse sera égale à zéro. L’accélération du corps sur cette partie du mouvement est de moins 980 centimètres par seconde au carré car la gravité agit dans le sens opposé au mouvement. Nous pouvons utiliser l’équation 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠 pour calculer le déplacement sur cette section.

En remplaçant par nos valeurs, nous avons zéro est égal à 1195,6 au carré plus deux multiplié par moins 980 multiplié par 𝑠. Cela peut être simplifié en 1960𝑠 égal à 1 429 459,36. En divisant par 1960, nous avons 𝑠 est égal à 729,316. Le corps B parcourt une distance supplémentaire de 729,316 centimètres après que le corps A ait touché le sol. Nous pouvons maintenant calculer la hauteur maximale atteinte par la masse la plus légère au-dessus de sa position initiale en ajoutant 1195,6 à 729,316. Cela est égal à 1924,916. La masse la plus légère atteint une hauteur de 1924,916 centimètres au-dessus de sa position initiale. Nous pourrions aussi donner la réponse en mètres en divisant par 100, ce qui nous donne 19,24916 mètres.

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