Vidéo : Intégration numérique : Sommes de Riemann

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les sommes de Riemann droite, gauche et médiane pour approximer numériquement des intégrales définies.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les sommes de Riemann droite, gauche et médiane pour approximer numériquement des intégrales définies. Jusqu’à cette étape, vous avez probablement estimé l’aire entre la courbe et l’axe 𝑥 en la divisant en rectangles et en trouvant leur somme combinée. Nous allons maintenant voir comment ce processus est lié au calcul et comment il peut nous aider à approximer numériquement des intégrales définies.

Supposons que nous cherchions à trouver l’aire entre la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, l’axe 𝑥 et les droites verticales, notées 𝑥 égal à 𝑎 et 𝑥 égal à 𝑏. La région peut ressembler un peu à celle-ci, bien qu’il soit possible que les valeurs des fonctions soient également positives et négatives. Les sommes de Riemann nous donnent une approximation de cette aire en la divisant en rectangles de taille égale. Les hauteurs de ces rectangles seront soit données par la valeur de la fonction à l’extrémité gauche de chaque intervalle. C’est une somme de Riemann gauche, le point d’extrémité droit pour une somme de Riemann droite, ou le milieu de chaque intervalle.

Les formules pour les sommes de Riemann droite et gauche sont les suivantes. Et rappelez-vous, lorsque nous écrivons une bonne somme de Riemann, nous prenons des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Et lorsque nous écrivons une somme de Riemann gauche, nous prenons des valeurs de 𝑖 de zéro à 𝑛 moins un. Et cela nous donne la valeur de 𝑓 à l’extrémité gauche de chaque rectangle. Maintenant, ici, Δ𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 divisé par 𝑛. 𝑎 et 𝑏 sont les points de début et de fin de l’intervalle et 𝑛 est le nombre de sous-intervalles, en d’autres termes, le nombre de rectangles dans lesquels nous divisons la région. Ensuite, 𝑥𝑖 semble un peu déroutant. Mais c’est 𝑎 plus 𝑖 beaucoup de Δ𝑥. En d’autres termes, nous partons de la limite inférieure de notre intervalle. Et nous ajoutons à plusieurs reprises Δ𝑥, la largeur de chaque rectangle.

Imaginons maintenant que nous divisons la région en, disons, deux rectangles. Ici, j’ai choisi la hauteur de chaque rectangle pour être la valeur de la fonction du point d’extrémité gauche. Maintenant, il s’ensuit que cela ne va pas nous donner une très bonne estimation de l’aire entre la courbe et l’axe 𝑥. Mais si nous devions nous diviser davantage en, disons, quatre rectangles, notre estimation sera plus proche de l’aire exacte. Et le diviser davantage en huit rectangles, par exemple, et notre estimation serait encore plus proche. En fait, lorsque le nombre de rectangles ou de sous-intervalles, 𝑛, approche de l’infini, l’aire approximative se rapproche de l’aire exacte entre la courbe et l’axe 𝑥.

Lors de l’évaluation des sommes de Riemann droites, nous pouvons dire que l’aire 𝑎 de la région qui se trouve sous la courbe d’une fonction continue 𝑓 est la limite lorsque 𝑛 s’approche de l’infini de la somme de Δ𝑥 fois 𝑓 de 𝑥𝑖 pour les valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Et lors de l’évaluation des sommes de Riemann gauches, nous disons que l’aire de la région qui se trouve sous la courbe d’une fonction continue 𝑓 est la limite de la somme de Δ𝑥 fois 𝑓 de 𝑥𝑖 pour des valeurs de 𝑖 de zéro à 𝑛 moins un. Et en fait, au lieu d’utiliser des points d’extrémité gauche ou droit, nous pourrions même prendre la hauteur du 𝑖 ème rectangle comme étant la valeur de 𝑓 à n’importe quel nombre 𝑥𝑖 étoile dans le 𝑖 e sous-intervalle de 𝑥𝑖 moins un à 𝑥𝑖. Rappelez-vous 𝑥𝑖 étoile le point d’échantillonnage. Dans ce cas, nous pouvons généraliser notre formule, comme indiqué.

Mais ensuite, nous passons à une autre définition. Et c’est la définition d’une intégrale définie. Et vous l’avez peut-être déjà vu. Si 𝑓 est une fonction définie sur l’intervalle de fermeture 𝑎 à 𝑏, nous divisons cet intervalle en 𝑛 sous-intervalles de largeur égale. C’est Δ𝑥, où 𝑥 rien, 𝑥 un, 𝑥 deux et ainsi de suite sont les points d’extrémité des sous-intervalles. Ensuite, 𝑥 une étoile, 𝑥 deux étoiles, jusqu’à 𝑥𝑛 points d’échantillonnage dans les sous-intervalles de sorte que 𝑥𝑖 étoile se trouve dans le sous-intervalle 𝑖. Ensuite, l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑎 à 𝑏 est la limite à mesure que 𝑛 approche ∞ de la somme de Δ𝑥 fois 𝑓 de 𝑥𝑖 étoile pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. C’est, bien sûr, à condition que cette limite existe et nous donne la même valeur pour tous les choix possibles de points d’échantillonnage.

Mais attendez une minute ! Nous venons de dire que l’aire située entre la courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et le 𝑥 axe des x entre 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 est égale à cette limite. Cela doit donc signifier que l’intégrale définie entre les limites de 𝑎 et 𝑏 de notre fonction est l’aire exacte. Et c’est génial car oui, il y a certaines fonctions que nous pouvons intégrer facilement. Et par conséquent, nous pouvons évaluer l’intégrale définie pour trouver l’aire exacte entre la courbe et l’axe 𝑥. Mais si nous ne le pouvons pas, nous savons maintenant que nous pouvons utiliser les sommes de Riemann pour aider à l’approcher.

Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Le tableau montre les valeurs d’une fonction obtenues à partir d’une expérience. Estimer l’intégrale définie entre cinq et 17 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 en utilisant trois sous-intervalles égaux avec des extrémités gauche.

N’oubliez pas que nous pouvons estimer une intégrale définie en utilisant les sommes de Riemann. Dans ce cas, nous estimons l’intégrale entre cinq et 17 de 𝑓 de 𝑥. Maintenant, peu importe que nous ne sachions pas quelle est la fonction. Nous avons suffisamment d’informations dans notre tableau pour effectuer la somme de Riemann gauche. La somme de Riemann gauche implique de prendre les hauteurs de nos rectangles comme valeur de fonction au point d’extrémité gauche du sous-intervalle. Nous voulons utiliser trois sous-intervalles de taille égale. Rappelons donc la formule qui nous permet de calculer la taille de chaque sous-intervalle, c’est-à-dire les largeurs du rectangle.

C’est Δ𝑥 est égal à 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛, où 𝑎 et 𝑏 sont les extrémités de notre intervalle et 𝑛 est le nombre de sous-intervalles. Dans notre cas, nous cherchons à évaluer l’intégrale définie entre cinq et 17. Donc, nous posons 𝑎 égal à cinq et 𝑏 égal à 17. Et nous voulons trois sous-intervalles égaux. Nous allons donc poser 𝑛 égal à trois. Δ𝑥 est alors 17 moins cinq tous divisés par trois, ce qui est simplement quatre. Ensuite, lors de l’écriture d’une somme de Riemann gauche, nous prenons des valeurs de 𝑖 de zéro à 𝑛 moins un. C’est la somme de Δ𝑥 fois 𝑓 de 𝑥𝑖 pour des valeurs de 𝑖 de zéro à 𝑛 moins un. 𝑥𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 beaucoup de Δ𝑥. Dans ce cas, nous savons que 𝑎 est égal à cinq et Δ𝑥 est égal à quatre. Notre valeur 𝑥𝑖 est donc donnée par cinq plus quatre 𝑖.

Eh bien, puisque nous utilisons la somme de Riemann gauche, nous commençons par laisser 𝑖 égal à zéro. Nous devons déterminer 𝑥 zéro. C’est cinq plus quatre fois zéro, ce qui est tout simplement cinq. Nous pouvons trouver 𝑓 de 𝑥 rien dans notre tableau. C’est moins trois. Ensuite, nous laissons 𝑖 égal à un. Et nous obtenons 𝑥 un pour être cinq plus quatre fois un, qui est neuf. Nous recherchons la valeur 𝑥 égale neuf dans notre tableau. Et nous voyons que 𝑓 de neuf est moins 0.6. Ensuite, nous laissons 𝑖 égal à deux. Et rappelez-vous, nous recherchons des valeurs de 𝑖 jusqu’à 𝑛 moins un. Eh bien, trois moins un, c’est deux. C’est donc la dernière valeur de 𝑖 qui nous intéresse. Cette fois, c’est cinq plus quatre fois deux, ce qui est 13. Nous recherchons 𝑥 est égal à 13 dans notre tableau. Et nous obtenons que 𝑓 de 13 et 𝑓 de 𝑥 deux est 1.8.

Ensuite, selon notre formule de sommation, nous trouvons la somme des produits de Δ𝑥 et ces valeurs de 𝑓 de 𝑥𝑖. Et donc, une estimation de notre intégrale définie est quatre fois négative trois plus quatre fois moins 0.6 plus quatre fois 1.8, ce qui vaut moins 7.2. Une estimation de l’intégrale définie entre cinq et 17 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 en utilisant trois sous-intervalles égaux est moins 7.2.

Maintenant, nous n’avons pas à nous inquiéter ici que notre réponse soit négative. N’oubliez pas que lorsque nous travaillons avec des sommes de Riemann, nous examinons des ensembles de définitions. Mais lorsque les valeurs des fonctions sont négatives, le rectangle se trouve en dessous de l’axe 𝑥. Et donc, sa superficie est soustraite.

Voyons maintenant comment utiliser les formules avec les bons points de terminaison.

Approximer l’intégrale définie entre moins deux et deux de trois 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 par rapport à 𝑥 en utilisant une somme de Riemann avec des points d’extrémité droits. Prenez 𝑛 égal à huit.

Rappelez-vous, nous pouvons estimer la solution d’une intégrale définie en utilisant des sommes de Riemann, dans ce cas est l’intégrale définie de trois 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 entre les limites de moins deux et de deux. Et nous allons utiliser les bons points de terminaison. Lors de l’écriture de sommes de Riemann avec des points d’extrémité droits, nous prenons des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. C’est la somme de Δ𝑥 fois 𝑓 de 𝑥𝑖 pour ces valeurs de 𝑖, où Δ𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 divisé par 𝑛. Gardez à l’esprit ici que 𝑛 est le nombre de sous-intervalles et 𝑥𝑖 est égal à 𝑎 plus 𝑖 beaucoup de Δ𝑥. Voyons donc ce que nous avons réellement.

Nos limites vont de deux à moins deux. Nous allons donc laisser 𝑎 égal à moins deux et 𝑏 égal à deux. On nous dit que nous devons prendre 𝑛 pour avoir huit ans. Géométriquement, cela nous indique le nombre de rectangles que nous avons. Et maintenant, nous pouvons travailler sur Δ𝑥. C’est la largeur de chaque rectangle. Selon notre formule, Δ𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. C’est deux moins deux sur huit, ce qui représente la moitié. Et une fois que nous avons Δ𝑥, nous pouvons alors travailler sur 𝑥𝑖. C’est 𝑎 que nous avons dit moins deux plus Δ𝑥. C’est la moitié du temps 𝑖. En d’autres termes, 𝑥𝑖 est moins deux plus 𝑖 sur deux.

Maintenant, pour notre somme de Riemann, nous devons calculer 𝑓 de 𝑥𝑖. C’est clairement 𝑓 de moins deux plus 𝑖 sur deux. Nous y parvenons en substituant moins deux plus 𝑖 sur deux dans notre formule trois 𝑥 au carré moins cinq 𝑥. Et si nous distribuons nos parenthèses et simplifions, nous voyons que 𝑓 de 𝑥𝑖 est les trois quarts 𝑖 au carré moins 17 sur deux 𝑖 plus 22. Remplaçons maintenant Δ𝑥 et 𝑓 de 𝑥𝑖 dans notre formule de sommation. Nous voyons maintenant qu’une approximation de notre intervalle défini est la somme de la moitié de trois quarts 𝑖 au carré moins 17 sur deux 𝑖 plus 22 pour les valeurs de 𝑖 de un à huit. Or, en fait, ce facteur constant de moitié est indépendant de 𝑖. Nous pourrions donc le retirer de la somme. Et maintenant, bien que cette étape ne soit pas entièrement nécessaire, elle ne peut pas simplifier les choses à l’occasion.

Nous allons maintenant remplacer les valeurs de 𝑖 de un à huit par trois quarts 𝑖 au carré moins 17 sur deux 𝑖 plus 22 et trouver leur somme. Lorsque 𝑖 est égal à un, nous obtenons 0.75 moins 8.5 plus 22, soit 14.25. Lorsque 𝑖 est égal à deux, nous obtenons huit. Lorsque 𝑖 est égal à trois, nous obtenons 3.25. Lorsque 𝑖 est quatre, nous obtenons zéro. Lorsque 𝑖 est cinq, il vaut moins 1.75. Lorsque 𝑖 est égal à six, nous obtenons moins deux. Quand il est sept, nous obtenons moins 0.75. Et quand 𝑖 est égal à huit, nous obtenons deux. Trouver la somme de ces valeurs puis la multiplier par la moitié et nous obtenons 23 sur deux. Et donc, une approximation de notre intégrale définie, nous utilisons une somme de Riemann droite avec huit sous-intervalles est 23 sur deux.

Jusqu’à présent, nous avons examiné comment estimer les intégrales avec les sommes de Riemann gauche et droite. Voyons maintenant comment nous pourrions travailler en utilisant les points médians.

En utilisant la règle du milieu avec 𝑛 égal à cinq, arrondissez l’intégrale définie de deux à cinq sur deux 𝑥 sur trois 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥 à quatre décimales.

N’oubliez pas que nous pouvons estimer une intégrale définie en utilisant les sommes de Riemann. Nous divisons la région en sous-intervalles et créons un rectangle dans chacun. L’aire totale des rectangles nous donne une estimation de l’intégrale. Dans une somme Riemann médiane, la hauteur de chaque rectangle est égale à la valeur de la fonction au milieu de sa base. Maintenant, travailler avec des points médians n’est pas aussi agréable que d’utiliser la somme de Riemann gauche ou droite. Dans ce cas, rien ne nous empêche d’évaluer à long terme chacun des domaines. Et commençons par déterminer la largeur de chaque sous-intervalle.

Géométriquement, il nous indique la largeur des rectangles. Et il est donné par Δ𝑥 est égal à 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛, où 𝑎 et 𝑏 sont les extrémités de l’intervalle et 𝑛 est le nombre de sous-intervalles. Dans notre cas, notre limite inférieure est de deux et notre limite supérieure est de cinq. On laisse donc 𝑎 égal à deux et 𝑏 égal à cinq. Et on nous dit que 𝑛 est égal à cinq. Δ𝑥 est cinq moins deux sur cinq, ce qui correspond aux trois cinquièmes ou 0.6. Et une table peut faciliter la prochaine étape. Dans notre tableau, nous allons commencer par travailler sur chacun des sous-intervalles.

Nous savons que la limite inférieure de notre intégrale définie est de deux. Pour trouver l’extrémité droite de notre premier rectangle lors de notre premier sous-intervalle, nous ajoutons 0.6 à deux pour obtenir 2.6. Cela signifie que notre prochain rectangle commence à 𝑥 est égal à 2.6. Cette fois, nous ajoutons à nouveau 0.6. Et nous trouvons que le bon critère d’évaluation est 3.2. Le point d’extrémité gauche de notre prochain rectangle doit donc être 3.2. Et le point final droit est 3.2 plus Δ𝑥. C’est 3.8. Notre prochain rectangle commence à 3.8. Et en ajoutant 0.6, nous constatons qu’il se termine à 4.4. Et notre cinquième et dernier rectangle — Souvenez-vous, nous voulions que 𝑛 soit égal à cinq — commence à 4.4 puis se termine à 4.4 plus 0.6, ce qui fait cinq. Et c’est un très bon début car nous savons que la limite supérieure de notre intervalle est en effet de cinq.

Ensuite, nous allons travailler sur le milieu de chacun de ces sous-intervalles. Maintenant, nous pouvons probablement le faire dans notre tête. Mais si nous avons du mal, nous ajoutons les deux valeurs et divisons par deux. Et lorsque nous le faisons, nous obtenons les points médians à 2.3, 2.9, 3.5, 4.1 et 4.7, respectivement. Pour calculer la hauteur de chaque rectangle, nous devons déterminer la valeur de la fonction en ces points. Ainsi, par exemple, dans cette première ligne, nous commencerons par calculer 𝑓 de 2.3. Pour ce faire, nous substituons 2.3 à notre fonction deux 𝑥 sur trois 𝑥 plus deux. Et nous obtenons 46 sur 89. Ensuite, nous répétons ce processus pour 𝑥 est égal à 2.9. Lorsque nous substituons 3.5 à notre fonction, nous obtenons 14 sur 25. Et la hauteur de nos deux derniers rectangles est respectivement de 82 sur 143 et 94 sur 161 unités.

Et notre toute dernière étape consiste à calculer l’aire de chaque rectangle en multipliant sa largeur par sa hauteur. Bien sûr, la largeur de chaque rectangle est Δ𝑥 à 0.6. Nous multiplions donc chacune de ces valeurs de fonction par 0.6, puis trouvons leur somme. Maintenant, nous pourrions le faire à leur tour ou nous pourrions trouver leur somme et multiplier par 0.6. Nous obtiendrons la même réponse. Lorsque nous trouvons le total de toutes les valeurs dans notre colonne intitulée Δ𝑥 fois 𝑓 de 𝑥𝑖, nous obtenons 1.66571 et ainsi de suite. Et si nous exécutons cela avec quatre décimales de précision, nous constatons qu’une estimation que l’intégrale définie entre deux et cinq de deux 𝑥 sur trois 𝑥 plus deux par rapport à 𝑥 est à peu près 1.6657.

Dans cette vidéo, nous avons vu que l’intégrale définie d’une fonction entre les limites de 𝑎 et 𝑏 peut être approximée en utilisant les sommes de Riemann gauche ou droite ou médian. Et nous avons utilisé les formules de sommation pour les sommes de Riemann gauche et droite. Et nous avons également vu que la règle du point médian peut être un peu plus compliquée, mais qu’il est tout à fait correct d’utiliser un tableau pour estimer la solution.

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