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Vidéo question :: Etudier le sens de variation d’une fonction à partir de sa représentation graphique Mathématiques • Deuxième année secondaire

Etudiez la monotonie de la fonction suivante sur son ensemble de définition.

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Transcription de la vidéo

Etudiez la monotonie de la fonction suivante sur son ensemble de définition.

Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction. Nous devons l’utiliser pour déterminer la monotonie de la fonction sur son domaine de définition. Pour ce faire, commençons par rappeler la définition de la monotonie d’une fonction. La monotonie d’une fonction indique si elle est croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Nous souhaitons déterminer cela sur le domaine de définition de la fonction. Rappelons qu’il s’agit de l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles pour la fonction. Nous pouvons préciser le domaine de définition de cette fonction à partir du graphique. Les valeurs 𝑥 des points sur la courbe sont les valeurs d’entrée de notre fonction. Puisque le graphique de la fonction est marqué par des flèches des deux côtés, cela signifie que ce graphique se poursuit à l'infini dans les deux directions. Plus précisément, cela nous indique que toute droite verticale coupera le graphique une fois. Cette fonction a donc un domaine de définition constitué de tous les nombres réels.

Utilisons maintenant le graphique de cette fonction pour déterminer la monotonie de la fonction. Déterminons les intervalles où notre fonction est croissante. Une fonction est dite croissante sur un intervalle si ses valeurs de sorties augmentent le long de cet intervalle, Ainsi, sa courbe monte sur cet intervalle. Par exemple, en regardant le graphique, nous pouvons voir que la fonction est croissante sur cette partie. Si nous choisissons n'importe quelle valeur d'entrée sur la section et que nous prenons ensuite une autre valeur d'entrée de valeur plus élevée de 𝑥, nous pouvons voir que la valeur de sortie est plus grande. Cela reste vrai si nous continuons le long de notre graphique. Nous pouvons préciser la valeur de 𝑥 où notre fonction cesse d'augmenter. Ce sera le cas lorsque 𝑥 est égal à moins 2. Par conséquent, la fonction est croissante sur l'intervalle ouvert moins ∞ moins deux.

Or, ce n'est pas le seul intervalle où notre fonction est croissante. Nous pouvons également voir qu'elle est croissante sur l'intervalle suivant. Nous avons que les valeurs de 𝑥 de cette partie de la courbe partent de un à quatre. Nous pouvons donc également dire que notre fonction est croissante sur l'intervalle ouvert un quatre. Il ne reste plus d'intervalles où notre fonction est croissante. Ainsi, si nous considérons l'union de ces deux ensembles, nous obtenons tous les intervalles où cette fonction est croissante. Nous pouvons procéder exactement de la même manière pour déterminer les intervalles où cette fonction est décroissante. Ce seront les intervalles où la fonction est descendante. Nous pouvons les marquer sur la figure.

La première partie où la courbe est décroissante est comprise entre moins deux et un. Ainsi, nous dirons que notre fonction est décroissante sur l'intervalle ouvert moins deux un. De même, la seconde partie de notre fonction qui est décroissante part de quatre et continue indéfiniment. Nous dirons que notre fonction est décroissante sur l'intervalle ouvert quatre plus ∞. En prenant l'union de ces deux ensembles, nous obtenons tous les intervalles sur lesquels la fonction est décroissante. Nous obtenons alors notre réponse finale. La fonction illustrée dans la figure est croissante sur l'intervalle ouvert moins ∞ moins deux union l'intervalle ouvert un quatre et est décroissante sur l'intervalle ouvert moins deux un union l'intervalle ouvert quatre plus ∞.

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