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Une fusée vole vers le haut à une vitesse constante lorsqu’elle éjecte ses propulseurs vides du premier étage et active ses propulseurs du deuxième étage. Lorsque cela se produit, la fusée a une accélération nette vers le haut de 15 mètres par seconde au carré dans le sens de son déplacement. Les boosters de deuxième étage brûlent pendant sept secondes. À la fin de la course, le vecteur vitesse vers le haut de la fusée est de 250 mètres par seconde. Quel était le vecteur vitesse de la fusée avant la mise en route des boosters du deuxième étage ?
Alors, c’est une question longue et compliquée avec beaucoup d’informations. Essayons de le décomposer en plus petits morceaux facile à appréhender. Commençons par penser à la fusée qui vole vers le haut à une vitesse constante. C’est ce que la fusée fait initialement avant que tout ce que nous allons envisager se produise.
Alors, voici notre petite fusée. Et elle se déplace vers le haut, on nous a dit, à une vitesse constante, que nous pouvons appeler 𝑢. Alors, à un instant donné, la fusée éjecte ou se débarrasse de ses boosters vides de premier étage. Alors, disons que ces choses bleues sont les boosters de la première étape. Et ils sont maintenant à court de carburant. Donc, voici la fusée éjectant les deux boosters du premier étage. Ensuite, avant de faire quoi que ce soit, écrivons sur le côté que nous avons dit que le vecteur vitesse initial de la fusée était 𝑢. Nous pouvons l’écrire pour plus tard afin de ne pas l’oublier.
Mais de toute façon, on nous a dit dans la question que dès que la fusée se débarrasse de ses boosters de premier étage, elle active également ses boosters de deuxième étage. Alors, dessinons des flammes qui sortent de l’arrière de la fusée, car nous pouvons dire que c’est là que se trouvent les boosters de deuxième étape. Eh bien, on nous a dit que les effets combinés de la suppression des boosters de première étape et de l’activation des boosters de deuxième étape se traduisent par une accélération nette vers le haut de la fusée de 15 mètres par seconde au carré dans le sens de son déplacement.
Évidemment, le sens du déplacement de la fusée est en effet vers le haut. Et nous pouvons dessiner cette double flèche vers le haut pour dire que l’accélération, que nous appellerons 𝑎, est de 15 mètres par seconde au carré. Puis on nous a aussi dit que les boosters de deuxième étage brûlaient pendant sept secondes. En d’autres termes, voici la fusée sept secondes plus tard. Elle est montée plus haut, et les boosters de deuxième étape ont juste cessé de brûler.
Par conséquent, nous pouvons dire que l’intervalle de temps entre le moment où la fusée venait de commencer à faire brûler ses propulseurs et celui où elle finit de faire brûler ses propulseurs est de sept secondes. Ou une autre façon de penser à cela, est que si nous disons que la fusée a commencé à faire brûler ses propulseurs à un instant 𝑡 un et a fini de faire brûler à un instant 𝑡 deux. Eh bien, nous venons de découvrir que l’intervalle de temps, que nous appellerons Δ𝑡, Δ représentant une variation et 𝑡 représentant le temps, est égal à 𝑡 deux, l’instant final, moins 𝑡 un, l’instant initial. Ce qui est essentiellement l’intervalle de temps sur lequel les propulseurs du deuxième étage de la fusée brûlaient. Et cela fait sept secondes.
En plus, une autre chose qui nous a été dite dans la question est qu’à la fin de la combustion, le vecteur vitesse vers le haut de la fusée est de 250 mètres par seconde. En d’autres termes, à ce stade, la fusée se déplace vers le haut à 250 mètres par seconde. Disons que c’est le vecteur vitesse finale de la fusée, et nous appellerons cela 𝑣. Ce qu’on nous a demandé de faire dans la question, c’est de trouver le vecteur vitesse auquel la fusée volait avant la mise en marche des boosters de deuxième étape. En d’autres termes, quel était le vecteur vitesse de la fusée juste avant de se débarrasser des boosters du premier étage et d’activer les boosters du deuxième étage ?
Ensuite, nous avons dit que juste avant de le faire, elle se déplaçait avec un vecteur vitesse constant 𝑢. C’était son vecteur vitesse initiale. Et maintenant, on nous a demandé de trouver la valeur de 𝑢. Alors, comment allons-nous pouvoir faire ? Eh bien, nous connaissons l’accélération de la fusée entre le moment où elle commence à faire fonctionner ses propulseurs et arrête de les faire brûler, ainsi que l’intervalle de temps entre ces deux points et le vecteur vitesse final de la fusée. Par conséquent, nous pouvons rappeler la définition de l’accélération.
Nous pouvons rappeler que l’accélération est définie comme la variation du vecteur vitesse d’un objet, c’est-à-dire Δ𝑣, Δ représentant une variation et 𝑣 représentant le vecteur vitesse, divisée par l’intervalle de temps sur lequel cette variation se produit. En d’autres termes, la différence de temps entre le moment où la fusée commence à accélérer et finit d’accélérer.
Alors, nous connaissons déjà la valeur de 𝑎 et nous connaissons la valeur de Δ𝑡, la variation de temps, ou en d’autres termes, l’intervalle de temps. Cependant, ce que nous ne connaissons pas, c’est la variation du vecteur vitesse de l’objet. Mais nous connaissons le vecteur vitesse finale de l’objet. Et donc, tout comme nous avons vu ici que la variation de temps, ou l’intervalle de temps, est égale à l’instant final moins l’instant initial, nous pouvons rappeler que la variation de vecteur vitesse d’un objet est égale au vecteur vitesse finale de la objet, que nous avons appelé 𝑣, moins le vecteur vitesse initial, que nous avons appelé 𝑢. Et donc, nous pouvons remplacer cela dans l’équation de l’accélération.
On peut dire que l’accélération de la fusée est égale au vecteur vitesse finale moins le vecteur vitesse initial divisé par l’intervalle de temps, que nous connaissons déjà. Et donc, nous avons une équation où nous connaissons cela, ceci aussi et ceci également. La seule chose que nous essayons de trouver est 𝑢. Donc, nous pouvons réorganiser pour trouver 𝑢. Nous pouvons commencer par multiplier d’abord les deux côtés de l’équation par Δ𝑡 afin qu’il s’annule sur le côté droit. Ce qui signifie que ce qui nous reste est Δ𝑡 multiplié par 𝑎 à gauche et 𝑣 moins 𝑢 à droite.
Ensuite, nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par moins un. La raison pour laquelle nous faisons cela est parce que sur le côté droit nous avons 𝑣 moins 𝑢, mais idéalement, nous voulons que 𝑢 soit positif parce que c’est ce que nous essayons de résoudre. Donc, sur le côté gauche, nous avons Δ𝑡 multiplié par 𝑎. Et nous multiplions cela par moins un. Et ainsi, cela devient moins Δ𝑡 multiplié par 𝑎. Ou un moyen plus facile d’écrire cela est 𝑎 fois Δ𝑡, ou 𝑎Δ𝑡.
Et donc, à gauche, nous avons moins 𝑎Δ𝑡. Et à droite, nous avons moins un multiplié par 𝑣, qui est moins 𝑣. Et nous y ajoutons moins 𝑢 multiplié par moins un, qui devient plus 𝑢. Et donc, à droite, nous avons moins 𝑣 plus 𝑢, ou 𝑢 moins 𝑣, une façon plus simple de l’écrire. Et donc, si on récapitule, nous avons moins 𝑎Δ𝑡 égale 𝑢 moins 𝑣. À ce stade, nous ajoutons simplement 𝑣 aux deux côtés de l’équation, ce qui signifie que nous n’avons plus 𝑣 à droite. Et cela nous laisse avec 𝑣 moins 𝑎Δ𝑡 est égal à 𝑢.
Donc, maintenant, tout ce que nous devons faire est introduire nos valeurs de 𝑣, 𝑎 et Δ𝑡, ce qui ressemble à ceci. Nous avons le vecteur vitesse finale, 250 mètres par seconde, moins l’accélération, 15 mètres par seconde au carré, fois l’intervalle de temps, sept secondes. Et cela va nous donner le vecteur vitesse initiale.
Maintenant, en regardant rapidement les unités, nous avons des mètres par seconde ici. Et dans ce facteur, nous avons des mètres par seconde au carré multipliés par des secondes, ce qui signifie qu’un facteur secondes va être annulé du numérateur et du dénominateur. Et ainsi, il nous reste des mètres par seconde au total. Ensuite, lorsque nous soustrayons cela, l’unité globale va être à nouveau en mètres par seconde. Et c’est une bonne chose parce que nous essayons de trouver un vecteur vitesse, qui s’exprime en mètres par seconde.
Donc, ce terme à droite, 15 fois sept, donne 105 mètres par seconde. À partir de là, nous avons 250 mètres par seconde moins 105 mètres par seconde. Et en évaluant cela, nous constatons que 𝑢, le vecteur vitesse initiale, est de 145 mètres par seconde. Donc, notre réponse finale est que le vecteur vitesse de la fusée avant la mise en marche des propulseurs de deuxième étape était de 145 mètres par seconde.
