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Sachant que 𝑦 égale sept fois la tangente de deux 𝑥, déterminez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.
Pour dériver 𝑦 égale sept fois la tangente de deux 𝑥, et ainsi répondre à la question posée, il est nécessaire de connaître quelques règles générales. La première de ces règles est que si 𝑦 est égal à la tangente de 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, est égale à la sécante au carré de 𝑥. En examinant la fonction donnée dans l’énoncé, on voit qu’elle implique effectivement la fonction tangente. Mais elle n’est pas simplement égale à la tangente de 𝑥, elle est égale à sept fois la tangente de deux 𝑥.
On peut donc dire qu’elle est de la forme 𝑦 égale 𝑎 fois la tangente de 𝑓 de 𝑥. On a donc une constante 𝑎, qui dans notre cas est égale à sept, puis la tangente d’une fonction, qui dans notre cas est égale à deux 𝑥. Et on sait que la dérivée par rapport à 𝑥 d’une fonction de cette forme est 𝑎 fois la dérivée de 𝑓 de 𝑥 fois la sécante au carré de 𝑓 de 𝑥.
Voilà une formule qui va nous être très utile. On va dériver notre fonction en utilisant cette formule pour déterminer 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. On rappelle que notre fonction 𝑦 est égale à sept fois la tangente de deux 𝑥. En appliquant notre formule, on obtient que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à sept fois la dérivée de deux 𝑥 fois la sécante au carré de deux 𝑥.
On dérive deux 𝑥 par rapport à 𝑥, ce qui nous donne deux, notre coefficient, fois un, notre puissance de 𝑥, fois 𝑥 élevé à la puissance un moins un, soit 𝑥 puissance zéro. On sait que tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à un. Donc on obtient finalement un résultat de deux.
On remplace ce résultat dans notre formule précédente. Cela nous donne 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 égale sept fois deux fois la sécante au carré de deux 𝑥.
Par conséquent, si 𝑦 est égal à sept fois la tangente de deux 𝑥, alors 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 14 fois la sécante au carré de deux 𝑥.
