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Vidéo de question : Utiliser la mesure d’un angle entre deux plans Mathématiques

Si l’angle compris entre les deux plans d’équations 𝑎𝑥−4𝑦+5𝑧=−5 et 𝐫 ⋅ (7; −1; 0) = 4 est de 60°, alors déterminez la valeur de la constante positive 𝑎.

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Transcription de vidéo

Si l’angle compris entre les deux plans d’équations 𝑎𝑥 moins quatre 𝑦 plus cinq 𝑧 égale moins cinq et 𝐫 scalaire le vecteur sept, moins un, zéro égale quatre est de 60 degrés, alors déterminez la valeur de la constante positive 𝑎.

Dans cette question, on nous donne les équations de deux plans. Voici la première équation de plan et voici la seconde. D’après l’équation du premier plan, un vecteur normal à la surface de ce plan est le vecteur de coordonnées 𝑎, moins quatre, cinq. On peut noter ce vecteur 𝐧 un. On a donc que 𝐧 un est un vecteur normal à notre premier plan.

Notre second plan est donné sous forme vectorielle. Sous cette forme, le membre de gauche est le produit scalaire du vecteur position d’un point quelconque du plan et d’un vecteur normal au plan. Donc, un vecteur normal à notre second plan est le vecteur de coordonnées sept, moins un, zéro, qu’on peut noter 𝐧 deux.

On rappelle à présent que le cosinus de l’angle entre deux plans de vecteurs normaux respectifs 𝐧 un et 𝐧 deux est donné par cette expression. Dans cette question, on connaît la valeur 𝜃 qui apparaît dans cette formule. D’après l’énoncé, elle est égale à 60 degrés. La valeur qu’on ne connaît pas et qu’on souhaite déterminer est cette valeur 𝑎, par laquelle 𝑥 est multiplié dans l’équation de notre premier plan. On va donc remplacer toutes les valeurs qu’on connaît dans cette équation du cosinus de l’angle entre deux plans, puis on simplifiera les deux membres pour déterminer la valeur de 𝑎, sachant qu’il est précisé dans l’énoncé qu’il s’agit d’une constante positive.

On commence par calculer le produit scalaire qui apparaît dans notre numérateur et on obtient sept 𝑎 plus quatre plus zéro. Et au dénominateur, on calcule les carrés des différentes coordonnées de nos deux vecteurs normaux et on obtient la racine de 𝑎 au carré plus 16 plus 25 fois la racine de 49 plus un plus zéro. On réduit et on obtient la valeur absolue de sept 𝑎 plus quatre divisée par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 41 fois la racine carrée de 50.

On sait que 𝑎 est positif, donc on en déduit qu’ici, sept fois 𝑎 est positif. Additionner quatre à cela nous donne un résultat également positif. Par conséquent, on peut enlever les barres de la valeur absolue de notre numérateur, car il s’agit d’un nombre positif. Le membre de gauche de notre expression est le cosinus de 60 degrés et on sait que le cosinus de 60 degrés est exactement égal à un demi.

En combinant ce qu’on a trouvé pour chacun des deux membres de notre équation, on a un demi est égal à cette expression. N’oublions pas que notre objectif est de déterminer la valeur de 𝑎. Pour résoudre l’équation et trouver la valeur de 𝑎, on commence par multiplier les deux membres par le dénominateur du membre de droite. On obtient que racine carrée de 50 sur deux fois la racine carrée de 𝑎 au carré plus 41 est égal à sept 𝑎 plus quatre. Si on élève au carré les deux membres de notre équation, le membre de gauche devient 50 sur quatre multiplié par 𝑎 au carré plus 41 et le membre de droite devient 49 𝑎 au carré plus 56𝑎 (deux fois quatre fois sept 𝑎) plus 16.

On développe le membre de gauche, puis on soustrait 50 𝑎 au carré sur quatre et 50 fois 41 sur quatre des deux côtés de l’équation, et notre membre de gauche est maintenant égal à zéro. On a une équation du second degré d’inconnue 𝑎. 49 moins 50 sur quatre se simplifie en 73 sur deux et 16 moins 50 fois 41 sur quatre se simplifie en moins 993 sur deux.

Notre équation devient zéro égale 73 sur deux fois 𝑎 au carré moins 56𝑎 moins 993 sur deux. Il s’agit d’une équation du second degré de la forme 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, donc on peut utiliser la formule pour trouver ses racines; dans notre cas, 𝑎 est égal à 73 sur deux, 𝑏 est égal à moins 56 et 𝑐 est égal à moins 993 sur deux.

Attention à la notation utilisée ici, cette valeur de 𝑎 n’est pas la même que cette valeur de 𝑎, qui est la valeur qu’on cherche à déterminer. Ce 𝑎 dont on cherche la valeur correspond à 𝑥 dans cette équation des racines d’une équation du second degré. Donc, la valeur de 𝑎 qu’on cherche à déterminer est donnée par cette équation. Le numérateur comporte un signe plus ou moins, donc il va y avoir deux solutions. Il ne reste plus qu’à faire le calcul pour obtenir nos deux résultats. Lorsqu’on utilise le signe moins au numérateur, on obtient moins 331 sur 73. Et lorsqu’on utilise le signe plus, on obtient trois.

Mais n’oublions pas qu’il est dit dans l’énoncé que 𝑎 est une constante positive. Donc, cela exclut notre valeur moins 331 sur 73. Par conséquent, notre réponse finale est que 𝑎 est égal à trois.

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