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Vidéo de question : Calcul du produit scalaire de deux vecteurs Mathématiques

Si 𝐀 = −3𝐢 + 3𝐣 + 4𝑚𝐤, 𝐁 = −4𝐢 − 6𝐣 − 7𝐤 et 𝐀 ⊥ 𝐁, déterminez la valeur de 𝑚.

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Transcription de vidéo

Si le vecteur 𝐀 égal à moins trois 𝐢 plus trois 𝐣 plus quatre 𝑚𝐤, le vecteur 𝐁 égal à moins quatre 𝐢 moins six 𝐣 moins sept 𝐤 et sachant que les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont orthogonaux, déterminez la valeur de 𝑚.

Le signe perpendiculaire indique que les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont orthogonaux. Rappelons que si deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est égal à zéro. Nous allons utiliser ce fait pour trouver la valeur de 𝑚.

Nous calculons le produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁 en multipliant leurs composantes correspondantes, puis en calculant la somme de ces nombres. Les composantes 𝐢 des vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont respectivement moins trois et moins quatre. Les composantes 𝐣 sont trois et moins six. Les composantes 𝐤 sont quatre 𝑚 et moins sept. Le produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁 est donc égal à moins trois multiplié par moins quatre plus trois multiplié par moins six plus quatre 𝑚 multiplié par moins sept.

Moins trois multiplié par moins quatre égale 12. Trois multiplié par moins six égale moins 18. Quatre 𝑚 multiplié par moins sept égale moins 28𝑚. Notre expression se simplifie en 12 plus moins 18 plus moins 28𝑚. Puisque les vecteurs sont orthogonaux, ceci égal à zéro.

12 plus moins 18 égale moins six. Par conséquent, zéro égale moins six moins 28𝑚. Ajoutons 28𝑚 de chaque côté de cette équation, nous trouvons 28𝑚 égale moins six. En divisant par 28, nous voyons que 𝑚 est égal à moins six sur 28. Puisque le numérateur et le dénominateur sont tous deux divisibles par deux, cela se simplifie en moins trois sur 14 ou moins trois quatorzièmes. Il s’agit de la valeur de 𝑚 telle que les vecteurs 𝐀 et 𝐁 soient orthogonaux.

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