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Vidéo de question : Déterminer la vitesse d’un système composé de deux masses suspendues verticalement reliées par une corde passant par une poulie après sa libération Mathématiques

Deux masses de 143 g et 77 g sont attachées aux extrémités d'une corde légère inextensible qui passe sur une poulie lisse. Sachant que les deux masses pendent librement verticalement en dessous de la poulie, et que le système est relâché du repos, calculez sa vitesse 4 secondes après. On prendra 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Deux masses de 143 g et 77 g sont attachées aux extrémités d'une corde légère inextensible qui passe sur une poulie lisse et fixe. Sachant que les deux masses pendent librement verticalement en dessous de la poulie, et que le système est relâché du repos, calculez sa vitesse 4 secondes après. On prendra 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous allons commencer par faire un schéma pour modéliser la situation. Nous avons deux masses de 143 grammes et 77 grammes que nous appelons respectivement 𝐴 et 𝐵. Celles-ci sont reliées par une corde fine et inextensible qui passe par une poulie lisse. Comme la poulie est lisse, nous savons que la tension sera constante le long de la corde. Les deux corps exercent une force vers le bas égale à leur poids. Et nous savons que ce poids est égal à la masse du corps multipliée par l’accélération de la pesanteur. Comme il y a 1000 grammes dans un kilogramme, le poids du corps 𝐴 est égal à 0,143 multiplié par 9,8. Cela équivaut à 1,4014 newtons. Le poids du corps 𝐵 est égal à 0,077 kilogramme par 9,8 mètres par seconde au carré. Cela équivaut à 0,7546 newtons.

Lorsque le système est libéré, le corps 𝐴 accélère vers le bas et le corps 𝐵 accélère vers le haut. Comme la corde est inextensible, cette accélération sera constante dans tout le système. Il va donc se déplacer avec la même vitesse et nous cherchons à déterminer cette vitesse après quatre secondes. Nous allons commencer en utilisant la deuxième loi de Newton pour calculer l’accélération du système. Cette loi nous dit que 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. La somme des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération. Pour le corps 𝐴, nous savons qu’il accélère vers le bas. En définissant ce sens comme le sens positif, la somme de nos forces est égale à 1,4014 moins 𝑇. Ceci est égal à la masse, 0,143 kilogramme, multipliée par l’accélération 𝑎.

Nous pouvons répéter ce processus pour le corps 𝐵 qui accélère vers le haut. En définissant ce sens comme le sens positif, nous avons 𝑇 moins 0,7546. Et cela est égal à 0,077𝑎. Nous avons maintenant un système à deux équations que nous pouvons résoudre par élimination. En ajoutant les équations une et deux, nous pouvons éliminer la force de tension 𝑇. Cela nous donne 0,6468 égal à 0,22𝑎. Nous pouvons alors diviser par 0,22, ce qui nous donne 𝑎 égal à 2,94. L’accélération du système est égale à 2,94 mètres par seconde au carré.

Comme cette accélération est constante, nous pouvons utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré, appelées aussi équations de MRUA. Nous savons que la vitesse initiale 𝑢 est de zéro mètre par seconde. L’accélération du système est de 2,94 mètres par seconde au carré. Et nous voulons calculer la vitesse 𝑣 quatre secondes après la libération du système. Nous pouvons utiliser l’équation 𝑣 est égale à 𝑢 plus 𝑎𝑡. Et en remplaçant les valeurs, nous avons 𝑣 est égal à zéro plus 2,94 multiplié par quatre. Cela équivaut à 11,76. La vitesse du système quatre secondes après sa libération est de 11,76 mètres par seconde.

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