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Vidéo de question : Déterminer la vitesse de sortie de l’eau qui traverse un tuyau Physique

De l’eau coule en douceur à travers un tuyau qui change d’épaisseur sur toute sa longueur. L’eau pénètre dans le tuyau en un point où sa section est de 1,24 × 10⁻⁵ m² et quitte le tuyau en un point où sa section est de 6,35 × 10⁻⁶ m². La vitesse de l’eau augmente de 2,50 m/s entre l’entrée et la sortie du tuyau. À quelle vitesse l’eau sort elle du tuyau ?

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Transcription de vidéo

De l’eau coule en douceur à travers un tuyau qui change d’épaisseur sur toute sa longueur. L’eau pénètre dans le tuyau en un point où sa section transversale est de 1,24 fois 10 moins cinq mètre carré et quitte le tuyau en un point où sa section transversale est de 6,35 fois 10 puissance moins six mètres carré. La vitesse de l’eau augmente de 2,50 mètres par seconde entre l’entrée et la sortie du tuyau. À quelle vitesse l’eau sort elle du tuyau?

Disons que c’est notre tuyau, où cette extrémité est l’entrée et cette extrémité est la sortie. Nous pouvons appeler la section transversale de l’entrée S un, et on nous donne cette valeur dans notre énoncé du problème. De même, si nous appelons la section de sortie de notre tuyau S deux, cette valeur nous est également donnée. Nous pouvons voir que S un est plus grand que S deux. Et c’est pourquoi le diamètre de notre tuyau diminue lorsque nous passons de l’entrée à la sortie. L’eau pénètre dans ce tuyau à une vitesse que nous appellerons 𝑣 un. Il sort du tuyau à une vitesse 𝑣 deux, et c’est cette vitesse de sortie que nous voulons résoudre.

Pour nous aider, rappelons l’équation de continuité pour les fluides de masse volumique constante. Chaque fois qu’un fluide incompressible tel que l’eau passe à travers un volume qu’il remplit, alors la section transversale de ce volume en un point multiplié par la vitesse du fluide est égal à la section transversale de ce volume en un autre point multiplié par la vitesse du fluide à ce point. Ici, nos deux points d’intérêt sont l’entrée et la sortie de notre tuyau. En ce qui concerne les variables de cette équation, nous connaissons S un et S deux. Ce sont les sections transversales du tuyau en nos points d’intérêt.

Nous ne connaissons ni 𝑣 un ou 𝑣 deux, la vitesse pour laquelle nous voulons résoudre. Mais nous savons cela, que l’eau qui passe à travers le tuyau voit sa vitesse augmenter de 2,50 mètres par seconde. Cela signifie que si nous prenons 𝑣 un, la vitesse de l’eau lorsqu’elle pénètre dans le tuyau, et que nous lui ajoutons cette vitesse de 2,50 mètres par seconde, nous obtiendrons la vitesse de l’eau à la sortie du tuyau, 𝑣 deux. Libérons maintenant un peu d’espace pour travailler et utilisons cette équation ici pour nous aider à commencer à résoudre 𝑣 deux en utilisant l’équation de continuité.

En utilisant cette équation, une chose que nous pourrions faire est de remplacer 𝑣 deux par 𝑣 un plus 2,50 mètres par seconde. Si nous faisons cela, notez que cela nous donne une équation où l’inconnu est maintenant 𝑣 un, la vitesse d’entrée de notre eau. Une fois que nous avons déterminé 𝑣 un, nous pourrions alors utiliser cette information pour déterminer 𝑣 deux. Mais une voie un peu plus directe consiste à remplacer 𝑣 un dans cette équation par une expression en fonction de 𝑣 deux, la variable que nous voulons déterminer. Nous pouvons le faire en retranchant 2,50 mètres par seconde des deux membres de cette équation. Lorsque nous le faisons, sur le membre gauche, moins 2,50 mètres par seconde plus 2,50 mètres par seconde donne zéro. Ce qui reste est une expression avec 𝑣 un en fonction de 𝑣 deux. Cela signifie que nous pouvons remplacer 𝑣 un dans notre équation de continuité par 𝑣 deux moins 2,50 mètres par seconde.

Maintenant, la seule inconnue dans toute cette équation est la variable que nous voulons résoudre. Pour commencer, multiplions S un par les deux termes qu’il multiplie dans ces parenthèses. Cela nous donne ce résultat. Et nous pouvons alors ajouter S un fois 2,50 mètres par seconde aux deux membres de l’équation. Sur le membre gauche, en soustrayant et en ajoutant la même quantité, le résultat est égale à zéro. Et comme étape suivante, si nous soustrayons S deux fois 𝑣 deux des deux membres, alors cette quantité en étant soustraite et ajoutée sur le membre droit disparaît. C’est-à-dire que la somme de ces deux termes est zéro.

Le membre droit de notre expression est simplifié comme étant 2,50 mètres par seconde fois S un. Et puis à gauche, remarquez que ces deux termes ont un facteur commun, 𝑣 deux. Si nous factorisons 𝑣 deux, nous obtenons 𝑣 deux fois la quantité S un moins S deux. Enfin, pour isoler 𝑣 deux, divisons les deux membres par S un moins S deux. Sur le membre gauche, cette différence s’annule en numérateur et en dénominateur. Nous avons enfin que 𝑣 deux, la vitesse de sortie de l’eau de ce tuyau, est égale à 2,50 mètres par seconde fois S un divisé par S un moins S deux. Puisque nous connaissons les valeurs de S un et S deux, nous pouvons les substituer dans cette expression. Et nous avons alors ce résultat.

Notez que puisque dans le dénominateur, nous soustrayons un terme d’un autre, les unités similaires de ces deux termes, les mètres carrés, seront les unités globales du dénominateur. Cependant, notre numérateur comprend les unités de mètres carrés. Ainsi, lorsque nous calculons cette fraction, ces unités s’annulent complètement. Il nous restera des unités finales simplement en mètres par seconde, des unités de vitesse. En entrant cette expression sur notre calculatrice, avec trois chiffres significatifs, 𝑣 deux est de 5,12 mètres par seconde. C’est la vitesse de l’eau à la sortie du tuyau, qui est 2,50 mètres par seconde plus rapide que la vitesse de l’eau à l’entrée du tuyau.

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