Vidéo question :: Évaluer des arrangements et des factorielles pour trouver des inconnues | Nagwa Vidéo question :: Évaluer des arrangements et des factorielles pour trouver des inconnues | Nagwa

Vidéo question :: Évaluer des arrangements et des factorielles pour trouver des inconnues Mathématiques • Troisième année secondaire

Si (𝑥 - 47)! × 𝑥A47 = 3906 (𝑥 - 2)!, alors déterminez la valeur de 𝑥.

04:51

Transcription de la vidéo

Si factorielle de 𝑥 moins 47 fois A 𝑥 47 est égal à 3906 fois factorielle de 𝑥 moins deux, alors déterminez la valeur de 𝑥.

Pour déterminer 𝑥, nous devrons comprendre ce que représente A 𝑥 47 et aussi ce que signifient les factorielles. La notation A 𝑛 𝑟 où 𝑛 et 𝑟 sont des entiers positifs ou nuls, est définie comme la fraction égale à factorielle de 𝑛 divisé par factorielle de 𝑛 moins 𝑟. Il s’avère que ce calcul donne le nombre de façons de sélectionner 𝑟 objets distincts parmi un groupe de 𝑛 objets distincts l’ordre revêtant une importance. En d’autres termes, c’est le nombre d’arrangements de 𝑟 choses prises dans un groupe de 𝑛 choses, d’où la notation A pour arrangement.

La formule de A 𝑛 𝑟 utilise également la notation factorielle, définissons donc ce qu’est une factorielle. Pour un entier positif 𝑛, la factorielle de 𝑛 est définie comme le produit de tous les entiers positifs de un à 𝑛 inclus. Donc factorielle de 𝑛 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux etcetera fois trois fois deux fois un. En remarque, nous posons également que factorielle de zéro est égal à un.

Quoi qu’il en soit, en regardant la définition de la factorielle, nous voyons que dans le membre de droite nous avons 𝑛 fois le produit de tous les entiers positifs de un à 𝑛 moins un soit en d’autres termes, 𝑛 fois factorielle de 𝑛 moins un. Cela donne en fait une autre façon de définir la factorielle. Factorielle de 𝑛 est égal à 𝑛 fois factorielle de 𝑛 moins un. Quoi qu’il en soit, ces trois définitions sont tout ce dont nous avons besoin pour résoudre notre équation. Commençons par le membre de gauche et nous développerons A 𝑥 47 en termes de factorielles.

Nous avons ainsi que factorielle de 𝑥 moins 47 fois A 𝑥 47 est égal à factorielle de 𝑥 moins 47 fois factorielle de 𝑥 divisé par factorielle de 𝑥 moins 47. Pour arriver à cette expression, nous avons remplacé 𝑛 par 𝑥 et 𝑟 par 47 dans la définition de A 𝑛 𝑟. En regardant l’expression du membre de gauche, nous voyons que nous avons factorielle de 𝑥 moins 47 divisé par factorielle de 𝑥 moins 47. Mais comme n’importe quelle valeur non nulle divisée par elle-même est égale à un, il nous reste dans le membre de gauche simplement factorielle de 𝑥. Mais nous savons que cette expression est égale à l’expression du membre de droite de notre équation initiale. Nous pouvons ainsi écrire qu’elle est équivalente à l’équation factorielle de 𝑥 est égal à 3906 fois factorielle de 𝑥 moins deux.

Pour continuer à simplifier notre expression, voyons ce qui se passe lorsque nous utilisons deux fois notre deuxième définition de la factorielle. Si nous laissons 𝑛 moins un prendre la place de 𝑛, nous avons que factorielle de 𝑛 moins un est égal à 𝑛 moins un fois factorielle de 𝑛 moins deux. Mais si nous remplaçons par ceci dans notre définition initiale de la factorielle de 𝑛, nous voyons que factorielle de 𝑛 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois factorielle de 𝑛 moins deux. En fait, en utilisant cette définition à plusieurs reprises, nous pouvons développer la factorielle 𝑛 avec autant de termes que nécessaire. Pour notre équation, deux fois seront suffisantes car nous avons la factorielle de 𝑥 moins deux dans le membre de droite et la factorielle de 𝑥 dans le membre de gauche.

Ainsi, en développant factorielle de 𝑥, nous obtenons que 𝑥 fois 𝑥 moins un fois factorielle de 𝑥 moins deux est égal à 3906 fois factorielle de 𝑥 moins deux. Nous avons maintenant un facteur commun aux deux membres à savoir factorielle de 𝑥 moins deux. Divisons donc les deux membres de cette équation par factorielle de 𝑥 moins deux. Cela nous laisse avec 𝑥 fois 𝑥 moins un est égal à 3906. Il s’agit d’une équation du second degré que nous pouvons résoudre par n’importe quelle technique algébrique de notre choix. Illustrons une méthode particulièrement utile pour les problèmes impliquant des factorielles, car nous savons que dans ce cas 𝑥 doit être un entier.

Nous observons que si 𝑥 est contraint d’être un entier alors 𝑥 et 𝑥 moins un sont des entiers consécutifs, ce qui signifie que leur valeur est assez proche. Cela signifie que 𝑥 moins un est approximativement égal à 𝑥 et donc que 𝑥 fois 𝑥 moins un est environ égal à 𝑥 au carré. Maintenant, ceci n’est pas complétement exact mais on peut dire que 𝑥 est assez proche de la racine carrée de 3906. Nous savons que cela ne peut pas être parfaitement précis car 𝑥 est un entier et la racine carrée de 3906 n’est pas un entier. Cependant, une fois que nous avons calculé la racine carrée de 3906, nous savons que 𝑥 est l’un des entiers les plus proches de ce nombre. Et généralement, il suffit d’essayer une ou deux valeurs avant de trouver la bonne.

La valeur de la racine carrée de 3906 est d’environ 62,5. Nous n’avons noté ce nombre qu’avec une décimale car nous nous intéressons uniquement aux entiers voisins. Nos possibilités immédiates pour 𝑥 sont alors 63 et 62 qui sont les deux entiers les plus proches de 62,5. Parmi ces deux nombres, 63 est le premier choix le plus raisonnable car nous savons que 𝑥 fois 𝑥 moins un est égal à 3906 et 𝑥 est plus grand que 𝑥 moins un. Et en effet, nous constatons que 63 fois 62 est égal exactement à 3906. Cela confirme notre choix de départ à savoir que 𝑥 est en fait égal à 63.

Approximer 𝑥 en prenant une racine est une technique généralement applicable chaque fois que nous avons un produit de plusieurs entiers positifs consécutifs. Si nous avons 𝑛 entiers consécutifs, nous prenons la racine 𝑛ième de leur produit. Et la valeur que nous obtenons est assez proche de la moyenne de ces entiers consécutifs. Une fois que nous avons approximé la valeur moyenne des entiers consécutifs, la méthode essai-erreur nous donne la liste complète.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité