Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Calcul de la distance de séparation des couches à partir du motif de diffraction des électrons Physique

Un faisceau d’électrons ayant une vitesse de 2,85 × 10⁶ m / s traverse un matériau cristallin. La diffraction des électrons produit un motif contenant un seul point. Un motif de diffraction ne comportant qu’un seul point se produit lorsque les électrons sont normalement incidents sur le plan du réseau cristallin et que la séparation 𝑑 des plans du réseau cristallin vaut la moitié de la longueur d’onde des électrons. Calculez 𝑑. Utilisez une valeur de 9,11 × 10⁻³¹ kg pour la masse des électrons et une valeur de 6,63 × 10⁻³⁴ J⋅s pour la constante de Planck.

04:12

Transcription de vidéo

Un faisceau d’électrons ayant une vitesse de 2,85 fois 10 puissance six mètres par seconde traverse un matériau cristallin. La diffraction des électrons produit un motif contenant un seul point. Un motif de diffraction ne comportant qu’un seul point se produit lorsque les électrons sont normalement incidents sur le plan du réseau cristallin et que la séparation 𝑑 des plans du réseau cristallin vaut la moitié de la longueur d’onde des électrons. Calculez 𝑑. Utilise une valeur de 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes pour la masse des électrons et une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules-secondes pour la constante de Planck.

Bien, dans cet exemple, on travaille avec un matériau cristallin. Disons que ceci est la vue de côté de ce matériau. Donc, ceci est une couche du cristal. Et ici nous avons une autre couche, une autre couche, une autre couche, etc. La distance entre les couches adjacentes de ce cristal est appelée 𝑑, et on souhaite trouver sa valeur. Un faisceau d’électrons est incident sur ce matériau cristallin. De plus, on nous dit que le faisceau est normalement incident, ce qui signifie qu’il y a un angle de 90 degrés entre le faisceau et les couches. L’énoncé du problème nous dit que les électrons du faisceau ont une longueur d’onde. En effet, ils ont une longueur d’onde selon ce qu’on appelle la relation de Broglie. Cette relation dit que l’inverse de la longueur d’onde d’un objet est égal à la quantité de mouvement linéaire de cet objet divisée par la constante de Planck ℎ.

On peut utiliser cette relation ainsi que les informations fournies pour calculer 𝑑, la distance entre les couches de notre cristal. Tout d’abord, faisons le point sur les informations fournies. Premièrement, la vitesse des électrons entrants, que l’on note vitesse v, est de 2,85 fois 10 puissance six mètres par seconde. Ensuite, la masse de chaque électron individuel, que l’on note masse 𝑚, est de 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes. Et enfin, on nous dit que la constante de Planck, que l’on note ℎ, est de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-seconde.

Par ailleurs, même si on ne sait pas encore spécifiquement ce que vaut 𝑑, on nous donne quelques informations à son sujet. On nous dit que le motif de diffraction de ces électrons incidents sur le matériau cristallin ne comporte qu’un seul point. Cela se produit, nous dit-on, lorsque la distance 𝑑 vaut la moitié de la longueur d’onde des électrons. Donc, quelle que soit la valeur de 𝑑, on sait qu’elle est égale à la longueur d’onde des électrons, que l’on note 𝜆, divisée par deux.

On va laisser un peu de place ici et réfléchir à la façon dont on peut utiliser la relation de Broglie pour trouver 𝑑. Rappelons que cette relation s’applique ici aux électrons. Donc 𝜆 est la longueur d’onde des électrons et 𝑝 est leur quantité de mouvement. Par définition, la quantité de mouvement d’un objet est égale à sa masse multipliée par sa vitesse. Ceci est une façon non relativiste d’exprimer la quantité de mouvement. L’équation est vraie chaque fois que les vitesses des objets impliqués sont largement inférieures à la vitesse de la lumière. Cette vitesse, on rappelle, est d’environ trois fois 10 puissance huit mètres par seconde. Ce que l’on souhaite alors faire est évaluer la vitesse de nos électrons 𝑣 et la comparer à la vitesse de la lumière 𝑐.

On remarque que la vitesse donnée pour nos électrons est d’environ trois fois 10 puissance six mètres par seconde. En d’autres termes, cette vitesse est d’environ un centième de la vitesse de la lumière. On peut donc dire qu’il s’agit bien d’une vitesse non relativiste, ce qui signifie que l’on peut utiliser l’expression classique de la quantité de mouvement dans notre équation de la relation de Broglie. On écrit alors qu’un sur la longueur d’onde des électrons est égal à la masse de l’électron multipliée par la vitesse de l’électron divisée par la constante de Planck. On rappelle maintenant que l’on cherche 𝑑. Et on note que deux fois 𝑑 est égal à la longueur d’onde de l’électron 𝜆. Par conséquent, on peut remplacer 𝜆 dans notre équation par deux fois 𝑑. On obtient alors cette équation, que l’on peut réorganiser afin d’isoler 𝑑.

Puis, on multiplie les deux côtés de l’équation par deux fois 𝑑 fois ℎ divisé par 𝑚 fois 𝑣. Ainsi, de nombreux facteurs s’annulent. Tout d’abord, à gauche, deux fois 𝑑 s’annule au numérateur et au dénominateur. Et à droite, 𝑚 et 𝑣 et ℎ s’annulent tous. On obtient alors ℎ sur 𝑚 fois 𝑣 est égal à deux 𝑑, ou bien, 𝑑 est égal à ℎ sur deux 𝑚𝑣. Or, on connait les valeurs de la constante de Planck ℎ, de la masse de l’électron 𝑚 et de la vitesse de l’électron 𝑣. Lorsque l’on remplace toutes ces valeurs, il n’est pas nécessaire de convertir les unités. On peut simplement calculer cette fraction entière pour trouver notre distance 𝑑 en mètres. En gardant trois chiffres significatifs, 𝑑 vaut 1,28 fois 10 puissance moins 10 mètres. Il s’agit ainsi de la distance de séparation entre les couches adjacentes de notre réseau cristallin.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.