Vidéo de la leçon: Représenter graphiquement des fonctions du second degré simples Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment représenter graphiquement et interpréter des fonctions du second degré de la forme 𝑦 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐.

Le terme « quadratus » est un mot latin qui veut dire au carré. Il est l’origine du terme mathématique quadratique, qui décrit quelque chose qui est en rapport avec des carrés, mettre au carré, ou aux équations qui impliquent des termes où la variable a un exposant de deux. En particulier, une fonction du second degré ou quadratique, est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels. Et bien sûr, 𝑎 n’est pas égal à zéro. Dans cette leçon, nous allons nous focaliser sur les fonctions dans lesquelles 𝑏 est égal à zéro, nos fonctions seront donc de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐. Dans cet esprit, récapitulons comment on traite les fonctions.

Lorsqu’une relation associe exactement une valeur de sortie à chaque valeur d’entrée, on l’appelle une fonction. Puisque 𝑥 est généralement la valeur d’entrée de la fonction, on peut obtenir la valeur de la fonction pour un certain nombre en remplaçant la variable 𝑥 par ce nombre dans l’équation de la fonction. On peut répéter cette opération autant de fois qu’on le souhaite et organiser les résultats dans un tableau de valeurs. L’ensemble des valeurs qu’on peut entrer dans la fonction est son ensemble de définition, et l’ensemble des valeurs qu’on obtient en substituant ces valeurs s’appelle l’ensemble image.

Donc, on prend une fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐, qu’on peut également écrire comme 𝑦 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐. Pour créer un tableau de valeurs pour une fonction sous cette forme, on remplace diverses valeurs de 𝑥 dans l’équation de la fonction et on simplifie entièrement le résultat. On peut ensuite tracer les couples résultants sur un repère. Voyons cela un peu plus en détail.

Voici un tableau pour 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux. Complétez-le en déterminant les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

Rappelons que pour remplir un tableau de valeurs pour une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐, on remplace chaque valeur de 𝑥 dans la fonction. Donc, pour déterminer la valeur de 𝑎, nous allons remplacer 𝑥 égal à moins deux dans la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux. En d’autres termes, 𝑎 est égal à 𝑓 de moins deux. Puisque notre fonction est 𝑥 au carré plus deux, on a moins deux au carré plus deux. Et bien sûr, moins deux au carré est égal à quatre. Donc, on a quatre plus deux, ce qui est égal à six. Nous ne sommes pas intéressés par la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à moins un. Et on nous dit que lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux.

Alors, pour déterminer 𝑏, nous allons fixer 𝑥 comme égal à un. Ceci signifie que 𝑏 est la valeur de la fonction en ce point ; qui est 𝑓 de un. Ce qui donne un au carré plus deux, soit un plus deux, ce qui, bien sûr, est égal à trois. Enfin, on détermine la valeur de 𝑐 en substituant 𝑥 égale deux dans la fonction. Ceci signifie que 𝑐 est égal à 𝑓 de deux, soit deux au carré plus deux. Encore une fois, on a quatre plus deux, ce qui est égal à six.

Vérifions notre méthode en calculant 𝑓 de zéro et en vérifiant si ceci produit le bon résultat de deux dans le tableau. 𝑓 de zéro est égal à zéro au carré plus deux. On a zéro plus deux ou deux comme nous l’espérions. Puisque cette valeur de 𝑓 de zéro correspond à la valeur donnée dans notre tableau, nous pouvons avoir confiance en notre méthode. Donc, 𝑎 est égal à six, 𝑏 est égal à trois et 𝑐 est égal à six.

Maintenant, dans cet exemple, nous aurions également pu calculer la valeur de 𝑓 de moins un. On remplace 𝑥 égale moins un dans la fonction, et on obtient moins un au carré plus deux, ce qui est égal à trois. Lorsqu’on ajoute ces valeurs à notre tableau, on remarque qu’il existe une symétrie entre nos valeurs de 𝑓 de 𝑥. Ceci n’est pas une coïncidence. Les courbes des fonctions du second degré sont symétriques par rapport à une droite verticale, comme le montre la figure. Pour des fonctions du second degré très simples, comme dans celle de cette question, on peut observer cela dans le tableau des valeurs et cela nous donne un moyen utile de vérifier nos résultats.

On remarque également que, bien qu’il existe une symétrie de réflexion entre les coordonnées générées, les valeurs de la fonction n’augmentent pas linéairement. Et cela signifie qu’on doit relier les coordonnées avec une courbe lisse au lieu d’une droite.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment remplir le tableau de valeurs d’une fonction du second degré, puis tracer sa courbe.

Complétez le tableau suivant pour la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale deux moins deux 𝑥 au carré en déterminant les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑. Quelle figure est la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 ?

Rappelons que, pour remplir le tableau de valeurs d’une fonction 𝑓 de 𝑥, on remplace chaque valeur de 𝑥 dans la fonction. Maintenant, bien qu’elle n’en ait pas l’air, notre équation 𝑓 de 𝑥 égale deux moins deux 𝑥 au carré est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐. Ce sont les mêmes termes dans un ordre différent. Et donc, nous nous attendons à la représentation graphique d’une fonction du second degré simple.

Commençons par déterminer la valeur de 𝑎. Nous devons remplacer 𝑥 égale moins deux dans notre fonction, en tenant compte de l’ordre des opérations. On a deux moins deux fois moins deux au carré. On calcule moins deux au carré, qui est égal à quatre. Et puis, on multiplie ceci par deux. L’expression devient deux moins huit, ce qui est bien sûr, moins six. Et donc, notre valeur de 𝑎 est moins six. Ensuite, pour déterminer la valeur de 𝑏, on utilise 𝑥 égale moins un, donc on a deux moins deux fois moins un au carré. Ce qui donne deux moins deux fois un, ce qui est égal à deux moins deux ou zéro. Et donc, on voit que la valeur de 𝑏 dans notre tableau est zéro.

Ensuite, calculons la valeur de 𝑐 en évaluant 𝑓 de zéro. Ce qui donne deux moins deux fois zéro au carré. Cela fait deux moins zéro, ce qui est simplement deux. Donc, 𝑐 est égal à deux. De même, 𝑑 est la valeur de 𝑓 de un, donc on a deux moins deux fois un carré, ce qui, encore une fois, est deux moins deux ou zéro.

Alors maintenant que nous avons les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑, mettons-les dans notre tableau. Et donc, nous avons un tableau de valeurs pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux moins deux 𝑥 au carré. Nous allons l’utiliser pour trouver la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥. Et pour ce faire, nous allons écrire les valeurs de notre tableau sous forme de liste de couples de la forme 𝑥, 𝑓 de 𝑥. Le premier est moins deux, moins six. On a moins un, zéro, le troisième couple zéro, deux, et les deux derniers couples sont un, zéro et deux, moins six. Si on les trace sur un de nos repères, on voit que la courbe (A) passe par tous ces points. En fait, la courbe de notre fonction est une courbe lisse qui passe par tous ces points. Et donc, la réponse est l’option (A).

Maintenant, dans cet exemple, notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale à deux moins deux 𝑥 au carré a généré cette parabole inversée ou à l’envers. Comparons ceci à la courbe de la fonction deux plus deux 𝑥 au carré. Bien que les courbes de ces deux fonctions aient la même ordonnée à l’origine, la parabole est en forme de n lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est négatif et en forme de U lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est positif.

On peut généraliser ceci et dire que pour une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐, si 𝑘 est supérieur à zéro, si c’est positif, on a une parabole en forme de U, et si c’est négatif, on obtient une parabole en forme de n. En fait, ceci signifie également que le sommet ou le point tournant de la fonction est un maximum absolu lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, et c’est un minimum absolu lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est positif. Voyons ces caractéristiques dans un autre exemple.

Laquelle des courbes représentatives suivantes représente la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux sur l’intervalle fermé moins 2,3 à 2,3 ?

Rappelons que pour tracer la courbe d’une fonction, on peut commencer par construire un tableau avec les valeurs de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 . Maintenant, avant de faire cela, nous pouvons immédiatement ignorer l’une des options. Nous savons que la courbe d’une fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐 est une parabole. Si la valeur de 𝑘 est positive, alors on a une parabole en forme de U et si elle est négative, on a une parabole en forme de n. Nous pouvons remarquer que la courbe de l’option (A) ne ressemble pas aux autres. En fait, elle ressemble à un c, nous allons donc immédiatement l’ignorer.

Ensuite, construisons notre tableau de valeurs. Chaque courbe représentative est donnée sur l’intervalle fermé moins 2,3 à 2,3. Donc, nous allons calculer les valeurs de 𝑓 de 𝑥, de 𝑥 égale moins deux à 𝑥 égale deux. Alors, pour déterminer le premier élément, dans la seconde ligne, on a 𝑓 de moins deux. Ce qui donne moins deux au carré plus deux. On a quatre plus deux, ce qui est bien sûr égal à six. De la même manière, nous pouvons calculer la deuxième valeur de notre tableau en déterminant 𝑓 de moins un. Ce qui donne moins un au carré plus deux et cela est égal à trois. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à moins un, la valeur de sortie de notre fonction est trois. De la même manière, on calcule 𝑓 de zéro. Ce qui donne zéro au carré plus deux, ce qui est égal à deux. Ensuite, 𝑓 de un est égal à un au carré plus deux, soit trois. Et enfin, 𝑓 de deux est égal à deux au carré plus deux, ce qui est égal à six.

Et donc, on a le tableau complet des valeurs de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux. Les couples que nous allons tracer sur notre repère sont moins deux, six ; moins un, trois ; zéro, deux ; un, trois ; et deux, six. Et puisqu’on trace une fonction du second degré, on les relie avec une courbe lisse. Si on place ces points et la courbe sur chacune de nos courbes représentatives, on voit que la seule qui satisfait ces points est l’option (B).

Jusqu’ici, nous avons représenté graphiquement les fonctions de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐 en utilisant un tableau de valeurs pour créer des couples. Et nous avons vu que les courbes de cette forme sont des paraboles symétriques. Ces courbes ont un axe de symétrie vertical qui passe en fait par leur sommet. Dans le cas particulier des fonctions du second degré de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐, l’axe de symétrie est, en fait, l’axe des 𝑦 ou la droite 𝑥 égale zéro. Maintenant, nous pouvons déduire une autre propriété de ces fonctions.

Rappelons qu’on détermine l’ordonnée à l’origine d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en remplaçant 𝑥 égale zéro. En d’autres termes, c’est la valeur de 𝑓 de zéro. Et bien sûr, dans le cas de la fonction du second degré simple, lorsque 𝑥 est égal à zéro, on a 𝑘 fois zéro au carré plus 𝑐. Mais 𝑘 fois zéro au carré est simplement zéro, et donc 𝑓 de zéro est égal à 𝑐. Et donc, l’ordonnée à l’origine de la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐 est 𝑐. Et ses coordonnées sont zéro, 𝑐.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment utiliser tout ce que nous avons vu jusqu’ici pour identifier l’équation d’une fonction du second degré 𝑦 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐 étant donné la courbe de cette fonction.

Écrivez l’équation du second degré représentée par la courbe représentative suivante.

On nous dit qu’il s’agit d’une équation du second degré. Et en fait, en observant la forme générale de la courbe, il s’agit d’une parabole. Donc, nous savons que c’est certainement la représentation graphique d’une fonction du second degré. Celle-ci est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎 n’est pas égal à zéro.

Maintenant, en fait, nous devons déterminer les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Et nous pouvons déterminer assez rapidement la valeur de 𝑏. La fonction de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑐, ou bien 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐, a un axe de symétrie 𝑥 égale zéro ; elle est symétrique par rapport à l’axe des 𝑦. Nous voyons que notre courbe est en effet symétrique par rapport à l’axe des 𝑦, nous pouvons donc en déduire que la valeur de 𝑏 doit être égale à zéro. Et donc, notre fonction est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑐.

Et ensuite, nous pouvons utiliser des informations sur son ordonnée à l’origine pour déterminer la valeur de 𝑐. Lorsqu’on a une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑐, son ordonnée à l’origine est zéro, 𝑐. Maintenant, notre ordonnée à l’origine est zéro, deux. Elle passe par l’axe des 𝑦 à deux. Et donc, 𝑐 doit être égal à deux, ce qui signifie qu’on peut écrire notre fonction comme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus deux.

Mais comment trouver la valeur de 𝑎 ? Eh bien, on peut choisir un point qui se trouve sur la courbe donnée et introduire les valeurs 𝑥 et 𝑦 de ce point dans la fonction. Choisissons le point avec les coordonnées deux, moins deux. En tant que couple, on a 𝑥, 𝑦 ou 𝑥, 𝑓 de 𝑥. Et donc, 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus deux devient moins deux égale 𝑎 fois deux au carré plus deux. Deux au carré est égal à quatre. Donc, l’équation devient moins deux égale quatre 𝑎 plus deux. Ensuite, si on soustrait deux des deux membres de cette équation, on obtient moins quatre est égal à quatre 𝑎. Et puis on divise par quatre, ce qui nous donne 𝑎 est égal à moins un.

Et donc, on peut écrire notre fonction comme 𝑓 de 𝑥 égale moins un 𝑥 au carré plus deux, ou comme 𝑦 égale moins 𝑥 au carré plus deux. Et en fait, puisque la parabole de notre figure est en forme de n, nous nous attendions à ce que le coefficient de 𝑥 au carré soit négatif. L’équation de la courbe est 𝑦 égale moins 𝑥 au carré plus deux.

Dans cette vidéo, nous avons appris à créer un tableau de valeurs pour une fonction du second degré. Nous avons également démontré certaines des propriétés clés des courbes des équations du second degré simples et avons utilisé ces propriétés pour identifier l’équation d’un courbe représentative donnée.

Récapitulons maintenant les points clés. Dans cette leçon, nous avons appris que les courbes représentatives des fonctions du second degré sont symétriques par rapport à une droite verticale qui passe par leur sommet. Nous avons vu que, pour les fonctions du second degré, si le coefficient de 𝑥 au carré est positif, on a une courbe en forme de U, et si le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, on a une courbe en forme de n. Enfin, nous avons vu que les courbes représentatives de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐 sont des paraboles symétriques avec un axe de symétrie 𝑥 égale zéro ou l’axe des 𝑦 et leurs ordonnées à l’origine sont situées à leur sommet et ont comme coordonnées zéro, 𝑐.