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Vidéo de question : Déterminer la distance la plus courte entre une droite et un point Mathématiques

Déterminez la plus courte distance entre la droite d’équation 𝑦 = (1/2 𝑥) - 2 et le point 𝐴 (9 ; −10).

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Transcription de vidéo

Déterminez la plus courte distance entre la droite d’équation 𝑦 égale un demi 𝑥 moins deux et le point 𝐴 : neuf, moins 10.

Eh bien, si nous considérons ce que cette question nous demande et si nous essayons de déterminer la plus courte distance entre une droite et un point, alors ce sera la distance perpendiculaire. Car si nous regardons le petit croquis que j’ai dessiné ici, si je veux aller du point que j’ai dessiné ici, qui est le point x, jusqu’à la droite, alors la route la plus courte serait une ligne droite jusqu’à la droite, et celle-ci sera perpendiculaire.

Donc, ce que nous avons en fait, c’est une formule qui nous permet d’évaluer la distance perpendiculaire d’un point à une droite. Eh bien, pour utiliser cela, nous devons avoir l’équation de notre droite sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Et nous avons aussi un point qui est 𝑥 un, 𝑦 un. Ensuite pour obtenir notre formule, nous avons que 𝐿, qui est notre distance perpendiculaire - eh bien, dans ce cas, la distance la plus courte - est égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐 le tout sur la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Donc, tout d’abord, nous avons 𝑦 égale un demi 𝑥 moins deux. Donc, si nous soustrayons 𝑦 de chaque côté de notre équation, nous allons obtenir un demi de 𝑥 moins 𝑦 moins deux égale zéro. Je l’ai inversé pour que l’expression soit à gauche. Nous devons ensuite identifier nos 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Eh bien, dans ce cas, le coefficient de 𝑥 est un demi, le coefficient de 𝑦 est moins un, et 𝑐 est égal à moins deux. Et donc le point 𝐴, soit neuf, moins 10, va nous donner 𝑥 un de neuf et 𝑦 un de moins 10.

Bien, nous avons à présent toutes les pièces nécessaires. Remplaçons-les dans notre équation pour calculer la distance perpendiculaire ou la distance la plus courte entre la droite et le point. Alors, lorsqu’on substitue dans la formule, on obtient que 𝐿 est égal à la valeur absolue d’un demi multipliée par neuf plus moins un multiplié par moins 10 moins deux. Et le tout sur la racine carrée d’un demi au carré plus un au carré. Par conséquent, 𝐿 sera égal à la valeur absolue de neuf sur deux plus 10 moins deux sur la racine carrée d’un quart plus un.

À présent, nous allons ranger tout cela. Pour le numérateur, nous pouvons faire cela en convertissant les deux autres valeurs en demis. Ainsi, par exemple, 10 est équivalent à 20 sur deux ou vingt demis, et deux est équivalent à quatre sur deux ou quatre demis. Et puis, au dénominateur, nous avons un, qui est équivalent à quatre quarts. Nous aurons donc, 𝐿 égale module valeur absolue de 25 sur deux le tout sur la racine carrée de cinq sur quatre.

Eh bien, nous pouvons supprimer la valeur absolue cela rend notre réponse positive au numérateur alors qu’en fait elle est déjà une valeur positive. Alors, voici ce que nous avons à cette étape. À présent, simplifions. Eh bien, pour nous faciliter la tâche, nous allons utiliser une règle. Il s’agit d’une des règles des nombres irrationnels. Et elle stipule que racine de 𝑎 sur 𝑏 est équivalent à racine de 𝑎 sur racine de 𝑏. Alors maintenant, nous avons 25 sur deux divisé par racine de cinq sur deux. Car la racine carrée de quatre est égale à deux. Eh bien, maintenant, nous pouvons utiliser l’une de nos règles pour des calculs avec des fractions. Et elle stipule que diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Et on obtient l’inverse de la fraction en échangeant le numérateur et le dénominateur.

Nous avons donc 25 sur deux multiplié par deux sur racine de cinq. Donc, nous pouvons essayer de simplifier. Si nous divisons le numérateur et le dénominateur par deux, nous avons ici deux valeurs qui vont s’éliminer et nous laisser avec un. Donc, nous avons 25 multiplié par un sur une fois racine de cinq, ce qui nous donne 25 sur racine de cinq. Maintenant, nous avons 25 sur racine de cinq. Cependant, nous devons rationaliser ce dénominateur parce que nous ne voulons pas avoir un nombre irrationnel comme dénominateur. Donc, si nous rationalisons ce dénominateur, nous allons faire 25 sur racine de cinq multiplié par racine de cinq sur racine de cinq. Et nous faisons cela car lorsqu’on multiplie racine de cinq par racine de cinq, cela nous donne cinq.

Donc, comme nous l’avons dit, nous pouvons utiliser une autre règle des nombres irrationnels. Et si nous avons racine de cinq multipliée par racine de cinq, cela nous donne cinq car racine de 𝑎 multipliée par racine de 𝑎 est égal 𝑎. Donc, il nous reste 𝐿 égal à 25 racine de cinq sur cinq, et donc la distance la plus courte entre la droite d’équation 𝑦 égale un demi de 𝑥 moins deux et le point 𝐴 neuf, moins 10 est égale à cinq racine de cinq.

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