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Un projectile est tiré avec un angle de 55 degrés au-dessus de l’horizontale et a un déplacement vertical maximal vers le haut depuis sa position de lancement de 7,2 mètres. Quelle est la vitesse initiale du projectile? Donnez la réponse au mètre par seconde près.
Dans cette question, on a un projectile qui est tiré avec une certaine vitesse initiale que l'on appelle 𝑉. Il est lancé avec un angle au-dessus de l’horizontale que l'on appelle 𝜃. Et la question nous dit qu’il s’agit d’un angle de 55 degrés au-dessus de l’horizontale. On note donc que 𝜃 est égal à 55 degrés.
Or, comme il s'agit d'un projectile, la seule force agissant sur celui-ci est le poids, qui agit verticalement vers le bas et a une norme égale à la masse du projectile que l'on appellera 𝑚 multipliée par l’accélération due à la gravité, notée 𝑔. Cette force vers le bas fait que la trajectoire du projectile est courbe. Et si on regarde la vitesse verticale du projectile, on voit qu’elle diminue tout au long de son mouvement, ce qui signifie qu’à un moment donné, le projectile n’aura pas de vitesse verticale. Après cela, il commencera à se déplacer vers le bas.
Ce point où la vitesse verticale du projectile est nulle est le point où le projectile atteint son déplacement vertical maximal vers le haut, également appelé hauteur maximale. On appellera ce déplacement vertical maximal vers le haut à partir de sa position de lancement ℎ. Et on nous dit dans la question qu'il vaut 7,2 mètres. On peut donc noter que ℎ est égal à 7.2 mètres. La question nous demande de calculer la vitesse initiale du projectile à partir de cette information, on cherche donc à calculer 𝑉. Avant de continuer, il convient de noter une autre valeur, à savoir l’accélération due à la gravité. Il s'agit de 𝑔, et elle vaut 9,8 mètres par seconde au carré.
Pour répondre à cette question, on va utiliser une équation permettant de décrire le mouvement d’un objet en accélération constante. L’équation indique que la vitesse finale de l’objet au carré est égale à la vitesse initiale de l’objet au carré plus deux fois l’accélération de l’objet multipliée par le déplacement de l’objet. Dans cette question, on va appliquer cela au mouvement vertical du projectile, le début du mouvement étant notre point initial et la position où le projectile est à son hauteur maximale étant notre point final. On sait déjà que le projectile n’a pas de vitesse verticale quand il est en ce point de hauteur maximale, donc 𝑉 f est égal à zéro.
La vitesse verticale initiale du projectile peut être calculée en s'appuyant sur le graphique de sa vitesse initiale, qui peut avoir une composante horizontale et une composante verticale. Et on appelle la composante verticale 𝑉 y. On voit que celles-ci forment un triangle rectangle, on peut donc déduire que 𝑉 y est égale à 𝑉 multiplié par le sinus de 𝜃. La vitesse verticale initiale du projectile est égale à sa vitesse initiale multipliée par le sinus de son angle de lancement au-dessus de l’horizontale. Et on peut écrire cela dans notre équation. L’accélération que subit le projectile est égale à 𝑔, mais elle agit vers le bas. On ajoute donc un signe négatif.
Enfin, le déplacement vertical du projectile est égal à ℎ. En écrivant ceci un peu plus proprement, zéro est égal à 𝑉 sin 𝜃 le tout au carré moins deux 𝑔ℎ. Et on connait la valeur de 𝜃, 𝑔 et ℎ, on a donc juste besoin de réorganiser cette équation de 𝑉. Tout d’abord, on ajoute deux 𝑔ℎ des deux côtés, de sorte que ces termes de droite s’annulent. Et deux 𝑔ℎ plus zéro est égal à deux 𝑔ℎ. Ensuite, on prend la racine carrée des deux côtés, ce qui nous laisse simplement avec 𝑉 sin 𝜃 à droite. Ensuite, on divise les deux côtés par sin 𝜃, tel que le sin 𝜃 à droite s’annule. Et cela nous donne une expression pour 𝑉, la vitesse initiale du projectile. En écrivant cela un peu plus clairement, 𝑉 est égale à la racine carrée de deux 𝑔ℎ divisée par le sin de 𝜃.
Notre dernière étape consiste à remplacer les valeurs connues de 𝜃, ℎ et 𝑔 dans cette équation. Avant de continuer, pensons à vérifier nos unités. ℎ et 𝑔 sont toutes deux en unités du système international, et le sinus de 𝜃 n’a aucune unité, donc il n'y a pas besoin de les convertir avant de continuer. Après remplacement, on obtient 𝑉 est égal à la racine carrée de deux multipliée par 9,8 mètres par seconde au carré multipliée par 7,2 mètres divisée par le sinus de 55 degrés. Ce calcul nous donne que 𝑉 est égal à 14,5 mètres par seconde. Mais la question nous demande de donner notre réponse au mètre par seconde près. Donc pour répondre à la question, la vitesse initiale du projectile, 𝑉, est égale à 15 mètres par seconde. La vitesse initiale du projectile est de 15 mètres par seconde au mètre par seconde près.
