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Vidéo de question : Résoudre des systèmes d’équations issues d’applications réelles à l’aide des matrices Mathématiques

Une fille a acheté 37 kilogrammes de farine et 4 kilogrammes de beurre pour 340 LE, et son amie a acheté 13 kg de farine et 12 kg de beurre pour 236 LE. À l’aide de matrices, calculez le prix du kilogramme de farine et de beurre. En utilisant les matrices, déterminez le prix par kilogramme pour la farine et le beurre.

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Transcription de vidéo

Une fille a acheté 37 kilogrammes de farine et quatre kilogrammes de beurre pour 340 livres égyptiennes, et son amie a acheté 13 kilogrammes de farine et 12 kilogrammes de beurre pour 236 livres égyptiennes. En utilisant les matrices, déterminez le prix par kilogramme pour la farine et le beurre.

Afin de résoudre ce problème, commençons par définir certaines variables. Soit 𝑥 le prix en livres égyptiennes du kilogramme de farine. Et de la même manière, 𝑦 le prix en livres égyptiennes du kilogramme de beurre. Maintenant, nous pouvons utiliser ces variables pour obtenir un système d’équations linéaires. On nous dit que 37 kilogrammes de farine et quatre kilogrammes de beurre coûtent 340 livres égyptiennes. Puisque 𝑥 est le prix d’un kilogramme de farine, le prix de 37 kilogrammes de farine est 37𝑥. Et de la même manière, le prix de quatre kilogrammes de beurre est quatre 𝑦. Donc, notre première équation est 37𝑥 plus quatre 𝑦 égale 340.

Ensuite, nous savons que 13 kilogrammes de farine et 12 kilogrammes de beurre coûtent 236 livres égyptiennes. Donc, 13𝑥 plus 12𝑦 est égal à 236. Nous avons maintenant un système d’équations linéaires, que nous devons résoudre pour déterminer 𝑥 et 𝑦. Et en fait, on nous dit de faire cela en utilisant des matrices. Nous allons donc mettre en place une équation matricielle sous la forme 𝐴𝑋 égale 𝐵. Dans cette équation de matrice, 𝐴 sera une matrice deux fois deux contenant des nombres. Puis 𝑋 sera une matrice colonne contenant les variables 𝑥 et 𝑦. Enfin 𝐵 sera une autre matrice constante. Cette fois, ce sera une matrice colonne.

Et en raison du fonctionnement de la multiplication matricielle, 𝑎 est la valeur du coefficient de 𝑥 dans notre première équation. De même, 𝑏 est le coefficient de 𝑦 dans notre première équation, 𝑐 est le coefficient de 𝑥 dans notre seconde équation, et 𝑑 est le coefficient de 𝑦 dans notre seconde équation. Alors la matrice constante 𝑒, 𝑓 est donnée par les éléments 340 et 236. Ainsi, l’équation matricielle équivalente à notre système d’équations linéaires est la matrice deux fois deux 37, quatre, 13, 12 que multiplie la matrice colonne 𝑥, 𝑦 est égale à la matrice avec les éléments 340 et 236. Alors maintenant que nous avons notre équation matricielle, rappelons comment la résoudre.

Nous multiplions les deux côtés par l’inverse de la matrice 𝐴. Et puisque l’inverse d’une matrice fois elle-même est la matrice identité, il nous reste 𝑥 égal à l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐵. Donc, si notre matrice 𝐴 est cette matrice deux fois deux 37, quatre, 13, 12, il s’ensuit que nous allons commencer par déterminer l’inverse de cette matrice. Et nous rappelons donc que, étant donné une matrice deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son inverse est un sur le déterminant de cette matrice fois la matrice avec les éléments 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎, où le déterminant est le produit des éléments 𝑎𝑑 moins le produit des éléments 𝑏 et 𝑐. Et bien sûr, si ce déterminant est égal à zéro, l’inverse de la matrice n’existe pas.

Commençons donc par calculer le déterminant de notre matrice deux fois deux. Il est égal au produit des éléments supérieur gauche et inférieur droit, donc 37 fois 12, moins le produit des éléments supérieur droit et inférieur gauche, donc moins quatre fois 13, soit 392. Nous savons donc que l’inverse de notre matrice deux fois deux sera un sur 392 multiplié par une autre matrice deux fois deux. Pour trouver cette matrice deux fois deux, nous commutons les éléments définis comme 𝑎 et 𝑑. Et nous changeons les signes des deux autres. Nous avons donc l’inverse de notre matrice. Nous savons que nous allons multiplier les deux côtés de notre équation par cette matrice. Donc, créons de l’espace et faisons cela.

Le membre de gauche devient simplement 𝑥, 𝑦. Et le membre de droite est comme indiqué. Nous allons maintenant multiplier la matrice deux fois deux par la matrice colonne. Et notre résultat sera, en fait, une autre matrice colonne. Nous commençons par calculer le produit scalaire des éléments de la première ligne de la première matrice et de notre colonne. On a 12 fois 340 plus moins quatre fois 236. Ce qui est égal à 3136. Ensuite, nous répétons ce processus, mais cette fois, nous utilisons les éléments de la seconde ligne de notre première matrice. Donc, on a moins 13 fois 340 plus 37 fois 236. Ce qui est égal à 4312.

Notre matrice 𝑥, 𝑦 est alors égale à un sur 392 fois la matrice colonne avec ces entrées. Et donc tout ce que nous devons faire pour obtenir la matrice colonne 𝑥, 𝑦 et par conséquent les valeurs de 𝑥 et 𝑦 est de diviser chaque terme dans notre matrice par 392. Or 3136 divisé par 392 égale huit, et 4312 divisé par 392 égale 11. Puisque nous avons défini 𝑥 comme étant le prix du kilogramme de farine en livres égyptiennes et 𝑦 comme étant le prix du kilogramme de beurre, nous voyons qu’un kilogramme de farine coûte huit livres égyptiennes et un kilogramme de beurre en coûte 11.

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