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Vidéo de question : Puissance du mouvement sur des plans inclinés avec des forces de résistance Mathématiques

Un camion de 3 tonnes de masse avec un moteur de 52 ch roule le long d’un tronçon de route horizontale à sa vitesse maximale de 108 km/h. Il a ensuite été chargé avec un poids de 315 kgp. Puis il a commencé à se diriger vers le haut d’une route qui est inclinée par rapport à l’horizontale selon un angle dont le sinus est 1/17. Sachant que la force de résistance du camion sur la route inclinée est trois fois plus forte que sur la route horizontale, déterminez la vitesse maximale du camion sur la route inclinée.

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Transcription de vidéo

Un camion de masse de trois tonnes avec un moteur de 52 chevaux-vapeur se déplace le long d’un tronçon de route horizontale à sa vitesse maximale de 108 kilomètres par heure. Ensuite le camion est chargé avec un poids de 315 kilogrammes-poids, puis il commence à se déplacer sur une route inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus est un dix-septième. Étant donné que la force de résistance au mouvement du camion sur la route inclinée est trois fois supérieure à celle de l’horizontale, déterminez la vitesse maximale du camion sur la route inclinée.

Pour répondre à cette question, on va utiliser la formule selon laquelle la puissance est égale à la force multipliée par la vitesse. Nos unités standard de puissance sont les watts pour les forces exprimées en newtons, et les vitesses en mètres par seconde. Dans cette question, on s’aperçoit que certaines de nos unités sont différentes. Donc il nous faut rappeler quelques conversions.

En puissance, un cheval-vapeur équivaut à 735 watts. En plus, une tonne équivaut à 1000 kilogrammes. Et un kilogramme-poids équivaut à 9,8 newtons. Finalement, 3,6 kilomètres par heure est égal à un mètre par seconde. Ensuite on va utiliser ces conversions pour que nos mesures soient dans les bonnes unités pour la description des grandeurs sur le tronçon de route horizontale et inclinée.

La masse du camion sur la route horizontale est égale à 3000 kilogrammes alors qu’une tonne est égale à 1000 kilogrammes. Comme le camion est chargé avec un poids de 315 kilogrammes, sa masse sur la route inclinée est de 3315 kilogrammes. Comme un cheval-vapeur équivaut à 735 watts, la puissance du moteur sera égale à 38220 watts. Cela équivaut à 52 multiplié par 735.

La vitesse maximale sur la route horizontale est de 108 kilomètres par heure. En divisant cela par 3,6, on obtient 30 mètres par seconde. On veut calculer la vitesse maximale du camion sur la route inclinée. On appelle cela 𝑉 mètres par seconde. On nous dit aussi que le sin de l’angle d’inclinaison est égal à un dix-septième. Si l’on appelle cet angle 𝛼, le sin de 𝛼 est égal à un dix-septième. Enfin, on nous dit que la résistance au mouvement du camion sur la route inclinée est trois fois celle de la route horizontale. Si l’on appelle la résistance sur la route horizontale 𝑅 newtons, alors sur la route inclinée, elle est égale à trois 𝑅 newtons. Libérons un peu de l’espace et traçons les deux scénarios.

Lorsque le camion roule sur la route horizontale, on a quatre forces, horizontales et verticales. Verticalement vers le bas, le poids de 3000 multiplié par l’accélération de la pesanteur 𝑔. Verticalement vers le haut, on a la force de réaction normale étiquetée 𝑁. On a également une force horizontale 𝐹 agissant dans le sens du mouvement et une force de résistance 𝑅 agissant contre le mouvement. Comme le camion roule à sa vitesse maximale, cela veut dire que l’accélération sera égale à zéro. Cela signifie aussi que la somme des forces verticales et horizontales sera égale à zéro.

Dans la direction horizontale, cela signifie que 𝐹 moins 𝑅 est égal à zéro. En ajoutant 𝑅 des deux côtés, on voit que la force 𝐹 est égale à la force de résistance. En utilisant l’équation puissance est égale à la force multipliée par la vitesse, on obtient 38220 est égal à 𝐹 multiplié par 30. Ensuite on divise les deux côtés de l’équation par 30, ce qui nous donne 𝐹 est égal à 1274. La force de résistance est donc égale à 1274 newtons. On peut maintenant calculer la résistance sur le plan incliné en multipliant ce nombre par trois. Cela équivaut à 3822 newtons.

Voilà. Ensuite on va tracer la situation sur le plan incliné. Une fois de plus, l’accélération sera égale à zéro car on s’intéresse au moment quand le camion se déplace avec la vitesse maximale. Le poids agissant verticalement vers le bas est égal à 3315 multipliée par l’accélération de la pesanteur. On a aussi une force de réaction normale 𝑁 agissant perpendiculairement au plan. Parallèlement au plan, il y a la force de résistance 𝑅 égale à 3822 newtons agissant contre le mouvement et une force 𝐹 agissant dans le sens positif. Encore une fois, on sait que la somme des forces agissant parallèlement et perpendiculairement au plan est égale à zéro.

Afin de calculer les résultantes dans ces directions, on doit trouver les composantes du poids perpendiculaires et parallèles au plan. On peut le faire en utilisant notre connaissance de la trigonométrie pour calculer la valeur de 𝑥 et 𝑦. Dans cette question, on n’est intéressé que par la valeur de 𝑥 car on parle des composantes de forces qui sont parallèles au plan. En utilisant les rapports trigonométriques, on sait que le sin de l’angle 𝛼 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Cela signifie que le sin de 𝛼 dans cette question est égal à 𝑥 sur 3315𝑔. En plus on sait que le sin de 𝛼 est égal à un dix-septième. La multiplication des deux côtés de cette équation par 3315𝑔 nous donne 𝑥 est égal à 1911. La composante du poids qui est parallèle au plan est de 1911 newtons. Et bien sûr cela agit contre le sens du mouvement.

Comme la somme des forces est égale à zéro, 𝐹 moins 𝑅 moins 1911 doit être égal à zéro. Pourtant 𝑅 est égal à 3822. On peut substituer cela dans l’équation et ensuite assembler des termes similaires. Notre équation simplifie à 𝐹 moins 5733 est égal à zéro. En ajoutant 5733 des deux côtés, on voit que la force positive est égale à 5733 newtons.

Ensuite on utilise le fait que la puissance est égale à la force multipliée par la vitesse. 38220 est égal à 5733 multiplié par 𝑉. La division des deux côtés par 5733 nous donne 20 sur trois ou vingt-tiers. Il s’agit de la vitesse maximale du camion en mètres par seconde. Comme la première vitesse est donnée en kilomètres par heure, il est logique de convertir cette réponse en kilomètres par heure. Pour ce faire, on multiplie vingt-tiers par 3,6. La vitesse maximale du camion sur la route inclinée est de 24 kilomètres par heure.

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