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Vidéo de question : Déterminer la mesure d’un angle à partir des mesures de son arc mineur et de son arc majeur Mathématiques

Déterminez 𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez 𝑥.

Examinons un peu le diagramme qui nous a été donné. Nous pouvons voir qu’il s’agit d’un cercle. Et 𝑥 degrés est la mesure de l’angle formé par l’intersection de deux cordes. Il s’agit des segments 𝐵𝐸 et 𝐶𝐷. Le théorème des angles des cordes qui se coupent stipule que la mesure de l’angle formé par l’intersection de deux cordes à l’intérieur d’un cercle est la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par l’angle et son angle vertical. L’arc intercepté par l’angle marqué 𝑥 degrés est l’arc 𝐶𝐸, et l’arc intercepté par son angle vertical est l’arc 𝐵𝐷. Nous pouvons donc écrire une équation. On a 𝑥 degrés égale un demi fois la mesure de l’arc 𝐶𝐸 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Maintenant, nous ne pouvons pas résoudre cette équation parce que nous ne connaissons les mesures d’aucun des deux arcs. Alors considérons les autres informations données dans la figure. Il y a aussi deux sécantes du cercle, les segments 𝐴𝐶 et 𝐴𝐸, qui se coupent en un point hors du cercle. Et on nous donne la mesure de l’angle entre ceux-ci. Le théorème des angles des sécantes qui se coupent stipule que la mesure de l’angle formé par deux sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle est la moitié de la différence positive des mesures des deux arcs interceptés. Les arcs interceptés sont 𝐵𝐷 et 𝐶𝐸. On voit que 𝐵𝐷 relie les deux points où chaque sécante coupe le cercle pour la première fois. Et 𝐶𝐸 relie les deux points où elles coupent chacune le cercle une seconde fois. De la figure, nous pouvons voir que l’arc 𝐶𝐸 a la plus grande mesure. Et nous pouvons donc écrire une deuxième équation. On a donc 40 degrés égale un demi fois la mesure de l’arc 𝐶𝐸 moins la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Nous avons maintenant deux équations simultanées impliquant la mesure de l’arc 𝐶𝐸 et la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Mais nous n’avons toujours pas suffisamment d’informations pour les résoudre. La dernière information donnée dans la question que nous n’avons pas encore utilisée est la mesure de l’angle inscrit, l’angle 𝐵𝐸𝐷. Rappelant que la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de celle de son arc intercepté, nous avons que la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐷 est un demi fois la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Nous avons donc suffisamment d’informations pour calculer la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Si on substitue 30 degrés à la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐷, on obtient que 30 degrés est égal à un demi fois la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Et puis lorsqu’on multiplie les deux côtés par deux, on constate que la mesure de l’arc 𝐵𝐷 égale 60 degrés.

Nous pouvons à présent utiliser le processus que nous avons utilisé pour calculer la valeur de 𝑥 mais cette fois-ci à l’envers. Premièrement, nous pouvons substituer 60 degrés à la mesure de l’arc 𝐵𝐷 dans notre seconde équation. Cela nous permettra de calculer la mesure de l’arc 𝐶𝐸. Et puis nous pouvons introduire les deux valeurs des mesures des arcs 𝐶𝐸 et 𝐵𝐷 dans notre première équation pour calculer 𝑥. Ainsi, lorsque nous substituons 60 degrés à la mesure de l’arc 𝐵𝐷 dans notre seconde équation, nous avons 40 degrés égale un demi fois la mesure de l’arc 𝐶𝐸 moins 60 degrés. Nous pouvons alors multiplier les deux côtés de cette équation par deux pour éliminer la fraction. Et cela donne 80 degrés égale la mesure de l’arc 𝐶𝐸 moins 60 degrés. Enfin, nous ajoutons 60 degrés de chaque côté de l’équation. Et nous obtenons que la mesure de l’arc 𝐶𝐸 est égale à 140 degrés.

Enfin, nous revenons à notre toute première équation et nous substituons 140 degrés à la mesure de l’arc 𝐶𝐸 et 60 degrés à la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Nous avons 𝑥 degrés égale un demi fois 140 degrés plus 60 degrés. Ce qui est égal à un demi fois 200 degrés, soit 100 degrés. Maintenant, 𝑥 est la partie numérique de cette réponse, donc la valeur de 𝑥 est 100. Ainsi, en rappelant les théorèmes des angles entre les cordes qui se coupent et les angles entre les sécantes qui se croisent, nous avons obtenu que la valeur de 𝑥 est de 100.

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