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Vrai ou faux : si la limite, lorsque 𝑥 tend vers un, de 𝑓 de 𝑥 égale quatre, alors il est possible que la fonction 𝑓 soit indéfinie en 𝑥 égale un.
On rappelle que cette notation permet de dire que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de un, la fonction elle-même se rapproche de plus en plus de quatre. Donc la fonction se rapproche de quatre. Et si nous utilisons des limites, c'est parce que nous avons parfois des fonctions qui sont indéfinies en un point donné.
Par exemple, prenons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 à la puissance moins un sur 𝑥 au carré. Si on essaie d'évaluer la fonction en 𝑥 égale zéro, on obtient 𝑒 à la puissance moins un sur zéro au carré. Mais évidemment, il y a ici une fraction dont le dénominateur est nul. On pourrait donc dire que c'est indéfini.
Cependant, si on regarde attentivement le graphique de 𝑦 égale 𝑒 à la puissance moins un sur 𝑥 au carré, on voit que la fonction se rapproche de plus en plus de zéro quand 𝑥 lui-même se rapproche de plus en plus de zéro. Donc, en fait, la limite lorsque 𝑥 se rapproche de zéro de 𝑒 à la puissance moins un sur 𝑥 au carré est nulle. La fonction est indéfinie en 𝑥 égale zéro, mais elle a bien une limite.
Si nous revenons à notre limite, on sait que la limite de la fonction lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de un est quatre. Mais en fait, cela ne nous dit pas si la fonction elle-même est définie au point où 𝑥 est égal à un. Et donc, l’affirmation est vraie. Il est effectivement possible que la fonction 𝑓 soit indéfinie au point 𝑥 égale un. Mais on ne peut pas le savoir sans informations supplémentaires.
