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Un athlète fait une fois le tour complet d’un terrain rectangulaire. Les côtés est et ouest du terrain mesurent 40 m de long et les côtés nord et sud 20 m de long. La vitesse moyenne du coureur est de 8 mètres par seconde. Pendant que le premier coureur court, un deuxième coureur fait des allers-retours entre les coins opposés du terrain. Il atteint le coin opposé à son point de départ pour la deuxième fois au moment où le premier coureur termine sa course autour du terrain. Quelle est la vitesse moyenne du deuxième coureur ? On donnera un résultat avec deux décimales. Pendant que le deuxième coureur court entre les deux coins opposés du terrain, quelle est sa vitesse moyenne selon un axe parallèle aux côtés est et ouest du terrain ? On donnera un résultat avec deux décimales. Pendant que le deuxième coureur court entre les deux coins opposés du terrain, quelle est sa vitesse moyenne selon un axe parallèle aux côtés nord et sud du terrain ? On donnera un résultat avec deux décimales.
Alors, cette question comporte trois parties différentes et nous allons les traiter une par une. Mais d’abord, commençons par faire un peu de place et résumons les informations qui nous sont données dans l’énoncé.
Nous avons deux coureurs différents qui courent sur un terrain. Appelons le premier coureur, le coureur un, et le second coureur, le coureur deux. On nous dit que le terrain est rectangulaire avec des côtés est et ouest de 40 mètres de long et des côtés nord et sud de 20 mètres de long. Le premier coureur, donc le coureur un, fait une fois le tour complet du terrain. Donc, imaginons qu’il commence sa course au niveau du coin inférieur gauche et qu’il coure dans le sens des aiguilles d’une montre, alors ce chemin orange représente la trajectoire parcourue. On nous dit que le premier coureur a une vitesse moyenne de huit mètres par seconde. Appelons cette vitesse 𝑣 indice un. L’indice est utilisé pour indiquer que nous faisons référence au coureur un.
L’autre information qui nous est donnée concerne le deuxième coureur, que nous avons appelé coureur deux. On nous dit qu’il court sur le même terrain que le coureur un mais qu’il suit un chemin différent. Il fait des allers-retours entre les coins opposés du terrain. Donc, si il commence sa course au niveau du coin inférieur gauche, alors il court entre le coin supérieur droit et ici. Il court donc sur le terrain selon cette diagonale. On nous dit qu’au moment où le coureur a terminé un tour complet autour du terrain, le coureur deux a atteint le coin opposé à son point de départ pour la deuxième fois.
Donc, pendant ce temps, le coureur deux est allé du coin inférieur gauche, qui est son point de départ, jusqu’au coin opposé, qui est le coin supérieur droit, puis il a traversé le terrain du coin supérieur droit jusqu’au coin inférieur gauche et enfin une fois de plus il est allé du coin inférieur gauche jusqu’au coin supérieur droit. Au moment où le coureur un a fait un tour complet du terrain et a retrouvé son point de départ, le coureur deux est donc au niveau du coin opposé pour la deuxième fois. Le chemin parcouru par le coureur deux est donc simplement trois fois la longueur de la diagonale du terrain.
Nous savons que les deux coureurs prennent le même temps pour parcourir leurs chemins respectifs. Appelons ce temps 𝑡. Tant que nous y sommes, donnons également un nom à la distance parcourue par chaque coureur. Nous appellerons la distance parcourue par le coureur un 𝑑 un et la distance parcourue par le coureur deux 𝑑 deux. L’énoncé ne nous donne pas les valeurs de 𝑡, 𝑑 un ou 𝑑 deux. Nous allons pouvoir les déterminer. Mais avant de voir cela, maintenant que nous avons résumé toutes les informations données par l’énoncé, rappelons ce qui est demandé dans la première question.
Alors, dans cette première question, on nous demande « Quelle est la vitesse moyenne du deuxième coureur ? On donnera un résultat avec deux décimales. »
Rappelons que si un objet se déplace sur une distance totale 𝑑 pendant un temps total 𝑡, alors la vitesse moyenne 𝑣 de cet objet est égale à 𝑑 divisée par 𝑡. Nous cherchons à calculer la valeur de cette vitesse moyenne pour le coureur deux. Avec les informations données dans l’énoncé, nous connaissons le chemin parcouru par le coureur deux. Donc, dans cette équation de la vitesse moyenne, nous connaissons la valeur de la distance totale parcourue par le coureur deux. Mais, pour le moment, nous ne connaissons pas la valeur du temps nécessaire au coureur deux pour parcourir cette distance. Et donc, avant de pouvoir utiliser cette équation pour calculer la vitesse moyenne du coureur deux, nous devons trouver un moyen de déterminer la valeur du temps 𝑡.
Le point important à noter dans les informations données dans l’énoncé est que le coureur deux et le coureur un mettent tous les deux le même temps 𝑡 pour parcourir leurs chemins respectifs. Comme nous connaissons la vitesse moyenne du coureur un et que nous pouvons utiliser son itinéraire pour déterminer la distance totale qu’il a parcouru, nous pourrons donc ensuite utiliser ces valeurs avec cette équation pour calculer la valeur du temps 𝑡. Ensuite, cette valeur de 𝑡 sera la même pour le coureur deux et nous pourrons alors calculer la distance parcourue lors de sa course. À ce moment-là, nous pourrons utiliser les valeurs de distance et de temps ainsi que cette équation pour calculer la vitesse moyenne du coureur deux.
Commençons donc par calculer la distance 𝑑 un parcourue par le coureur un. Nous savons que le coureur un fait une fois le tour complet du terrain. Le premier côté mesure 20 mètres de long, le deuxième côté 40 mètres, le troisième côté 20 mètres et le quatrième côté 40 mètres. La distance totale 𝑑 un parcourue par le coureur un est donc égale à 20 mètres pour le premier côté plus 40 mètres pour le deuxième côté plus 20 mètres pour le troisième côté plus 40 mètres pour le quatrième côté. En additionnant toutes ces distances, nous obtenons que 𝑑 un est égale à 120 mètres.
Maintenant que nous connaissons la distance totale et la vitesse moyenne du coureur un, nous pouvons utiliser ces valeurs pour calculer le temps 𝑡. Mais pour cela, nous devrons exprimer 𝑡 en fonction des autres variables. La première étape consiste à multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑡 pour que les 𝑡 au numérateur et au dénominateur à droite s’annulent. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par 𝑣 pour que les 𝑣 s’annulent sur le côté gauche. Nous obtenons une équation qui dit que le temps 𝑡 est égal à la distance 𝑑 divisée par la vitesse 𝑣.
Pour appliquer cette équation au cas du coureur un, nous pouvons simplement ajouter un indice un aux grandeurs 𝑑 et 𝑣. Et puis nous pouvons remplacer les valeurs 𝑑 un et 𝑣 un afin de calculer le temps 𝑡. En faisant cela, nous obtenons que 𝑡 est égal à 120 mètres divisé par huit mètres par seconde. Ce qui vaut 15 secondes. Nous connaissons donc maintenant le temps 𝑡 nécessaire au coureur pour terminer sa course. Et nous savons aussi que le coureur deux met le même temps que le coureur un pour terminer sa course. Donc, il lui faut également un temps de 15 secondes.
Ce que nous devons faire maintenant, c’est calculer la distance 𝑑 deux parcourue par le coureur deux. Pour cela, on peut remarquer que la diagonale sur laquelle se déplace le coureur deux est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Les deux autres côtés de ce triangle sont les côtés du terrain. Et nous savons que les côtés nord et sud ont une longueur de 20 mètres et que les côtés est et ouest ont une longueur de 40 mètres. Pour calculer la longueur de l’hypoténuse, rappelons le théorème de Pythagore.
Ce théorème dit que pour un triangle rectangle quelconque, si la longueur de l’hypoténuse est 𝑐 et les longueurs des autres côtés sont 𝑎 et 𝑏, alors nous avons 𝑐 au carré égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Ou en prenant la racine carrée de cette expression, comme la racine carrée de 𝑐 au carré est simplement 𝑐, alors cette équation dit que 𝑐 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Dans le triangle obtenu pour le coureur deux, le côté qui correspond à la longueur 𝑎 a une longueur de 40 mètres et le côté qui correspond à la longueur 𝑏 a une longueur de 20 mètres. Appelons l’hypoténuse de ce triangle ℎ.
Avec le théorème de Pythagore, nous savons que ℎ doit être égal à la racine carrée de 40 mètres au carrés plus 20 mètres au carrés. Ce qui vaut racine carrée de 2000 mètres carrés. En calculant la racine carrée, nous obtenons que ℎ est égal à 44,214 mètres. Les points de suspension indiquent qu’il y a d’autres décimales.
Nous savons que le coureur deux parcourt trois fois cette diagonale. Il court depuis son point de départ jusqu’au coin opposé, puis rejoint de nouveau son point de départ et il se rend une fois de plus au coin opposé. Cela signifie que la distance 𝑑 deux parcourue par le coureur deux est égale à trois fois la longueur ℎ de l’hypoténuse. Donc 𝑑 deux est égal à trois fois ℎ. Et en remplaçant la valeur que nous avons calculée pour ℎ, nous obtenons que 𝑑 deux est égal à 134,164 mètres.
Maintenant que nous connaissons la distance totale parcourue par le coureur deux et le temps total qu’il lui faut pour parcourir cette distance, nous pouvons utiliser ces valeurs dans cette équation pour calculer sa vitesse moyenne. Pour cela, faisons un peu de place. Appelons la vitesse moyenne du coureur deux 𝑣 deux. Et nous savons qu’elle est égale à la distance 𝑑 deux divisée par le temps 𝑡. Si nous remplaçons les valeurs de 𝑑 deux et 𝑡, nous obtenons que 𝑣 deux est égal à 134,164 mètres divisé par 15 secondes. Ce qui nous donne un résultat de 8,944 mètres par seconde. Et comme on nous demande de donner une réponse avec deux décimales, la réponse à cette question est que la vitesse moyenne du deuxième coureur était de 8,94 mètres par seconde.
Alors, faisons un peu de place et regardons la deuxième question.
Pendant que le deuxième coureur court entre les deux coins opposés du terrain, quelle est sa vitesse moyenne selon un axe parallèle aux côtés est et ouest du terrain ? On donnera un résultat avec deux décimales.
Alors, dans la première question, nous avons calculé la vitesse moyenne du deuxième coureur. Maintenant, on nous demande de considérer la course du deuxième coureur entre deux coins opposés du terrain. Nous allons donc considérer une partie du chemin parcouru, qui va du coin inférieur gauche, le long de cette diagonale jusqu’au coin supérieur droit. Nous savons que cette diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, nous pouvons donc dire que le vecteur vitesse du coureur a une norme de 8,94 mètres par seconde, c’est la vitesse que nous avons déterminée dans la première question et une direction selon la diagonale du terrain, dont nous savons qu’elle est l’hypoténuse du triangle rectangle.
Nous pouvons représenter ce vecteur vitesse comme un vecteur résultant constitué de deux composantes. Sur cette figure, la flèche rose représente le vecteur vitesse du coureur selon la diagonale du terrain. Les deux flèches orange représentent les composantes de ce vecteur vitesse respectivement selon les axes est-ouest et nord-sud. Dans cette deuxième question, on nous demande de déterminer la composante de la vitesse du coureur selon un axe est-ouest. Il s’agit donc de la composante représentée par cette flèche ici, que nous avons appelée 𝑣 indice 𝑒o, où 𝑒o indique que c’est la composante du vecteur vitesse selon l’axe est-ouest du terrain.
Puisque nous savons que le vecteur vitesse résultant est dirigé selon la diagonale du terrain, alors l’angle dans ce triangle, que nous appellerons 𝜃, doit être égal à l’angle correspondant dans le triangle que nous avons dessiné en utilisant les dimensions du terrain. Dans ce triangle, nous connaissons les longueurs des trois côtés. Et nous pouvons donc déterminer la valeur de l’angle 𝜃, en utilisant ces valeurs et certaines équations trigonométriques. Considérons un triangle rectangle quelconque avec un angle 𝜃, un côté adjacent à cet angle de longueur 𝑎, un côté opposé à cet angle de longueur 𝑜 et une hypoténuse de longueur ℎ.
Dans ce triangle quelconque, nous savons que sin 𝜃 est égal à 𝑜 divisé par ℎ, cos 𝜃 est égal à 𝑎 divisé par ℎ et tan 𝜃 est égal à 𝑜 divisé par 𝑎. Dans le cas du triangle du terrain, le côté adjacent à l’angle 𝜃 a une longueur de 40 mètres et le côté opposé à cet angle a une longueur de 20 mètres. Nous pouvons donc utiliser une valeur de 40 mètres pour 𝑎 et 20 mètres pour 𝑜, puis utiliser cette équation pour calculer la valeur de l’angle 𝜃.
Mais il faut tout d’abord exprimer 𝜃 en fonction des autres valeurs de l’équation. Pour cela, il faut prendre la tangente inverse de cette expression. La tangente inverse de tan 𝜃 est simplement 𝜃. Et donc nous avons que 𝜃 est égal à la tangente inverse de 𝑜 divisé par 𝑎. Remplaçons alors les valeurs de 20 mètres et 40 mètres respectivement pour 𝑜 et 𝑎, nous obtenons que 𝜃 est égal à la tangente inverse de 20 divisé par 40, ce qui se simplifie en tangente inverse d’un demi. Et en calculant la tangente inverse, nous obtenons que 𝜃 est égal à 26,565 degrés.
Nous savons que cet angle 𝜃 est égal à l’angle dans le triangle des vecteurs vitesses. Et nous pouvons donc l’utiliser pour calculer la composante du vecteur vitesse selon l’axe est-ouest, 𝑣 indice 𝑒o. Dans ce triangle de vecteur vitesse, nous pouvons également identifier le côté adjacent à l’angle 𝜃, il s’agit de 𝑎, le côté opposé à cet angle, il s’agit de 𝑜 et l’hypoténuse, ℎ. Dans ce cas, la valeur de ℎ, la longueur de l’hypoténuse, est la norme de la vitesse, c’est-à-dire 8,94 mètres par seconde. La valeur de 𝜃 est la valeur que nous avons calculée et qui vaut 26,565 degrés. Et nous cherchons à calculer la longueur du côté de ce triangle qui est adjacent à l’angle 𝜃. Donc, c’est le côté 𝑎, qui correspond à la composante du vecteur vitesse selon un axe est-ouest du terrain.
Puisque nous connaissons les valeurs de ℎ et 𝜃 et que nous voulons trouver la valeur de 𝑎, nous allons donc utiliser cette équation ici, qui relie les grandeurs 𝜃, 𝑎 et ℎ. Faisons un peu plus de place pour pouvoir modifier cette équation et exprimer 𝑎 en fonction des autres valeurs. Pour cela, il faut multiplier les deux côtés de l’équation par l’hypoténuse ℎ. Ensuite, les ℎ s’annulent sur le côté droit Et en écrivant l’équation dans l’autre sens, nous avons que 𝑎 est égal à ℎ fois cos 𝜃.
Alors, 𝑎 correspond donc à 𝑣 indice 𝑒o et nous pouvons remplacer les valeurs de l’hypoténuse ℎ et de l’angle 𝜃. En calculant cette expression, nous obtenons que 𝑣 indice 𝑒o vaut 7,996 mètres par seconde. On nous demande de donner une réponse avec deux décimales. Et en faisant cela, nous obtenons que la vitesse moyenne du deuxième coureur selon un axe parallèle aux côtés est et ouest du terrain est de 8.00 mètres par seconde.
Alors, faisons de la place une dernière fois et regardons la dernière question.
Pendant que le deuxième coureur court entre les deux coins opposés du terrain, quelle est sa vitesse moyenne selon un axe parallèle aux côtés nord et sud du terrain ? On donnera un résultat avec deux décimales.
Cette dernière question va être relativement rapide car nous avons déjà fait la plus grande partie du travail. On nous demande de déterminer la vitesse moyenne du deuxième coureur selon un axe parallèle aux côtés nord et sud du terrain. Donc, regardons ce triangle de vecteur vitesses et cette fois on ne nous demande plus de déterminer la longueur du côté adjacent à l’angle 𝜃, ce qui correspond à la composante est-ouest du vecteur vitesse. On nous demande de déterminer la longueur du côté opposé, ce qui correspond à la composante nord-sud.
Nous connaissons la longueur de l’hypoténuse, qui est la norme du vecteur vitesse résultant, et nous connaissons l’angle 𝜃. Nous cherchons à déterminer 𝑜, la longueur du côté opposé. Nous allons donc utiliser cette équation ici, qui relie les grandeurs 𝜃, 𝑜 et ℎ. Prenons cette équation et en multipliant les deux côtés par l’hypoténuse ℎ, alors les ℎ s’annulent à droite. Et nous obtenons que 𝑜 est égal à ℎ fois sin 𝜃. Dans ce cas, 𝑜 correspond à 𝑣 indice 𝑛𝑠, la composante du vecteur vitesse selon l’axe nord-sud du terrain.
Alors, en remplaçant les valeurs de ℎ et 𝜃, nous obtenons cette expression ici. Le calcul de cette expression nous donne la vitesse moyenne du deuxième coureur selon un axe parallèle aux côtés nord et sud du terrain. Et avec deux décimales, le résultat est de 4,00 mètres par seconde.
