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Vidéo de question : Identifier l’expression d’une fonction du second degré à partir de son graphique Mathématiques

Laquelle est l’équation de la fonction représentée par le graphique ? [A] 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 8 [B] 𝑓(𝑥) = 𝑥² - 8 [C] 𝑓(𝑥) = −𝑥² - 8 [D] 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 8 [E] 𝑓(𝑥) = 𝑥 - 8

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Transcription de vidéo

Laquelle est l’équation de la fonction représentée par le graphique ? Soit (a) 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré plus huit. Ou (b) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins huit. Ou (c) 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré moins huit. Ou (d) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus huit. Ou (e) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins huit.

Commençons par identifier quelques caractéristiques clés de la fonction tracée sur le graphique. Tout d’abord, nous observons qu’il s’agit d’une parabole et plus précisément il s’agit d’une parabole positive ou en forme de U qui s’ouvre vers le haut. Cela nous indique que la fonction tracée sur le graphique est une fonction du second degré. Tous les paraboles sont symétriques avec comme axe de symétrie une droite verticale passant par leur sommet. Et nous observons que l’axe de symétrie de cette fonction est la droite 𝑥 égale zéro ou l’axe des ordonnées. Ensemble, ces deux informations nous indiquent que la fonction tracée sur le graphique a une équation de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐. Et ce que nous devons faire est de déterminer les valeurs des constantes 𝑘 et 𝑐.

Par ailleurs, la valeur de 𝑐 est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦. Nous le savons parce que cette ordonnée est obtenue lorsque 𝑥 est égal à zéro. Et si nous devons évaluer la fonction 𝑓 de zéro, nous obtenons 𝑘 multiplié par zéro au carré plus 𝑐 ce qui est simplement égal à 𝑐. Sur le graphique, nous pouvons voir que l’ordonnée du point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦 vaut moins huit et ainsi la valeur de 𝑐 est moins huit. Nous avons donc que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑘𝑥 au carré moins huit. Mais nous devons déterminer la valeur de 𝑘. Pour ce faire, nous pouvons utiliser les coordonnées de n’importe quel autre point de la courbe.

Considérons donc le point de coordonnées trois, un. En d’autres termes, lorsque 𝑥 est égal à trois, 𝑓 de 𝑥 doit être égal à un. En remplaçant 𝑥 est par trois et 𝑓 de 𝑥 par un dans notre équation, nous obtenons que un est égal à 𝑘 multiplié par trois au carré moins huit. Cela se simplifie en un égale neuf 𝑘 moins huit. Nous ajoutons ensuite huit à chaque membre de l’équation pour donner neuf égale neuf 𝑘. En divisant les deux membres de cette équation par neuf, il s’ensuit que 𝑘 est égal à un.

Nous savons donc que 𝑓 de 𝑥 est de la forme 𝑘𝑥 au carré plus 𝑐. Et nous avons donc trouvé que 𝑘 est égal à un et que 𝑐 est égal à moins huit. Ainsi, l’équation de la fonction tracée sur le graphique est 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins huit, ce qui correspond à l’option (b).

Examinons brièvement les quatre autres options qui nous ont été données. En regardant l’option (e) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins huit, cela correspond à une fonction linéaire. Ainsi, le graphique de cette fonction serait une droite. Et nous savons donc tout de suite que celle-ci n’est pas la fonction que nous cherchons. En regardant les options (a) et (d), la valeur de 𝑐 qui est le terme constant de chaque fonction est égal à plus huit. Et donc ces deux fonctions auraient chacune pour ordonnée de l’intersection avec l’axe des 𝑦 plus huit et non moins huit. En regardant l’option (c), celle-ci a une ordonnée de l’intersection avec l’axe des 𝑦 correcte, mais le coefficient de 𝑥 au carré est négatif alors qu’il devrait être positif. En fait, cette fonction serait une parabole avec une ordonnée de l’intersection avec l’axe des 𝑦 de moins huit mais comme le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, ce serait une parabole qui s’ouvre vers le bas.

Nous pouvons bien sûr vérifier notre réponse en choisissant n’importe quel autre point de la courbe, par exemple le point de coordonnées moins quatre, huit. En remplaçant 𝑥 par moins quatre dans la fonction (b), nous avons que 𝑓 de moins quatre est égal à moins quatre au carré moins huit. Cela fait 16 moins huit, ce qui équivaut à huit. Et cela confirme donc que notre réponse est correcte. L’équation de la fonction tracée sur le graphique est donc bien 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins huit.

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