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Vidéo de question : Calcul de la vitesse horizontale d’un projectile à partir de son rayon d’action et de son altitude maximale Physique

Une grenouille saute du sol et atterrit en un point situé à 16 cm de son point de lancement, se déplaçant avec une vitesse horizontale constante. Le déplacement vertical maximal de la grenouille au-dessus du sol pendant son saut est de 3,6 cm. Quelle est la vitesse horizontale de la grenouille?

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Transcription de vidéo

Une grenouille saute du sol et atterrit à un point situé à 16 centimètres à l’horizontale de son point de lancement, se déplaçant avec une vitesse horizontale constante. Le déplacement vertical maximal de la grenouille au-dessus du sol pendant son saut est de 3,6 centimètres. Quelle est la vitesse horizontale de la grenouille?

Commençons par un diagramme de ce scénario. Nous avons une grenouille qui saute du sol. La grenouille aura une vitesse initiale que nous appellerons 𝑣 à un angle au-dessus de l’horizontale que nous appellerons 𝜃. On nous dit que la grenouille se déplace dans l’air avec une vitesse horizontale constante. Ainsi, la seule force agissant sur la grenouille alors qu’elle est dans l’air c’est la pesanteur. Cette force est le poids de la grenouille ayant une valeur égale à la masse de la grenouille, que nous appellerons 𝑚, multipliée par l’accélération de la pesanteur, qui est 𝑔.

Parce que la seule force agissant sur la grenouille alors qu’elle est dans l’air est la pesanteur, elle se comportera comme un projectile. Cela signifie que le chemin de la grenouille dans l’air sera courbé. Il se déplacera vers le haut, atteignant un déplacement vertical maximal, également appelé altitude maximale. Et puis il se déplacera vers le bas jusqu’au point où il atterrit, indiqué dans la question par la distante horizontalement de son point de lancement. Ainsi, le point d’atterrissage a le même déplacement vertical que son point de lancement. Nous étiquetons l’altitude maximale de la grenouille ℎ et la distance horizontale de son point de lancement à son point d’atterrissage 𝑅. Et cela est également connu comme la portée horizontale du projectile.

La question nous dit que la portée horizontale de la grenouille est de 16 centimètres et l’altitude maximale de la grenouille est de 3,6 centimètres. La question veut que nous les utilisions pour trouver la vélocité horizontale de la grenouille. Nous commencerons par examiner les équations pour l’altitude maximale et l’ensemble horizontal d’un projectile. Commençons par l’équation pour la portée horizontale, qui stipule que la portée horizontale est égale à deux multipliée par la vitesse initiale du projectile au carré multipliée par le cosinus de l’angle de lancement multiplié par le sinus de l’angle de lancement divisé par l’accélération de la pesanteur.

Ensuite, regardons l’équation pour l’altitude maximale d’un projectile, qui indique que l’altitude maximale est égale à la vitesse initiale du projectile au carré multipliée par le sinus de l’angle de lancement du projectile au carré divisé par deux multiplié par l’accélération de la pesanteur. Mais comment ces deux équations sont-elles liées à la vitesse horizontale de la grenouille ?

Pour le savoir, regardons un schéma de la vitesse initiale de la grenouille. Nous avons dit que la grenouille saute du sol avec une vitesse initiale de 𝑣 à un angle de 𝜃 par rapport à l’horizontale. Nous pouvons voir que cette vitesse initiale a une composante horizontale que nous appellerons 𝑣 𝑥 et une composante verticale que nous appellerons 𝑣 𝑦. Celles-ci forment un triangle rectangle, nous pouvons donc écrire que la vitesse horizontale de la grenouille, 𝑣 𝑥, est égale à la vitesse initiale de la grenouille, 𝑣, multipliée par le cosinus de son angle de lancement par rapport à l’horizontale, 𝜃. Et la vitesse verticale initiale de la grenouille, 𝑣 𝑦, est égale à la vitesse initiale de la grenouille, 𝑣, multipliée par le sinus de l’angle de lancement par rapport à l’horizontale, 𝜃.

Eh bien, ceux-ci ressemblent à certains des termes que nous pouvons voir dans nos équations pour la portée horizontale et l’altitude maximale. Voyons si nous pouvons écrire notre équation pour l’intervalle horizontal de la grenouille d’une manière qui utilise 𝑣 multiplié par le cos de 𝜃 et 𝑣 multiplié par le sin de 𝜃, en commençant par notre expression initiale de 𝑅 égale à deux 𝑣 au carré multiplié par le cos de 𝜃 multiplié par le sin de 𝜃 divisé par 𝑔. Et notez que 𝑣 au carré peut être écrit comme 𝑣 multiplié par 𝑣. Et nous sommes libres de changer l’ordre de multiplication, de sorte que nous pouvons amener un 𝑣 devant le terme sin 𝜃. Donc, juste en réorganisant légèrement notre équation pour la portée horizontale, nous l’avons en termes de la vitesse horizontale et de la vitesse verticale. Et au lieu de 𝑣 multiplié par le cos de 𝜃, on peut écrire 𝑣 𝑥. Et au lieu de 𝑣 multiplié par le sin de 𝜃, nous pouvons écrire 𝑣 𝑦.

Nous avons donc une expression pour la portée horizontale de la grenouille en termes de vitesse horizontale de la grenouille et de sa vitesse verticale initiale et de l’accélération de la pesanteur. Nous connaissons déjà la portée horizontale de la grenouille et nous connaissons l’accélération de la pesanteur. Donc, afin de déterminer la vitesse horizontale de la grenouille, ce qui est notre objectif, nous devons d’abord calculer la vitesse verticale initiale de la grenouille, 𝑣 𝑦.

Avant de commencer à essayer de déterminer la vitesse verticale initiale de la grenouille, nous allons garder une note de cette équation pour la portée horizontale en fonction de 𝑣 𝑥 et 𝑣 𝑦 à la place de notre équation d’origine pour la portée horizontale. Pour trouver une expression pour la vitesse verticale initiale de la grenouille, nous pouvons regarder notre équation pour son altitude maximale. En commençant par notre expression initiale, ℎ est égal à 𝑣 au carré multiplié par sin 𝜃 au carré divisé par deux 𝑔, nous remarquons que 𝑣 au carré multiplié par sin 𝜃 au carré est égal à 𝑣 multiplié par sin 𝜃 le tout au carré. Ainsi, nous pouvons réécrire notre expression pour que l’altitude maximale à ℎ soit égale à 𝑣 multiplié par le sin de 𝜃 le tout au carré divisé par deux 𝑔. Et nous savons que 𝑣 multiplié par le sin de 𝜃 est égal à la vitesse verticale initiale de la grenouille. Donc, nous pouvons réellement écrire ceci comme ℎ est égal à 𝑣 𝑦 au carré divisé par deux 𝑔.

Nous cherchons à trouver une expression pour la vitesse verticale initiale de la grenouille. Nous devons donc réorganiser cette équation pour 𝑣 𝑦. Nous commencerons par multiplier les deux membres par deux 𝑔, et les deux et les 𝑔 s’annuleront sur le membre droit. Ensuite, nous prendrons la racine carrée des deux membres. Et la racine carrée de 𝑣 𝑦 au carré est juste 𝑣 𝑦, ce qui nous donne notre expression pour la vitesse verticale initiale de la grenouille, dont nous garderons une note ici à gauche. En regardant notre équation pour la portée horizontale de la grenouille, nous connaissons celle-ci. Nous connaissons également l’accélération due à la gravité, et nous avons maintenant une expression pour la vitesse verticale initiale de la grenouille, 𝑣 𝑦.

Tout ce qui reste à faire est de réorganiser cette équation pour obtenir une expression pour la vitesse horizontale de la grenouille, le 𝑥. Nous commencerons par multiplier les deux membres de l’équation par 𝑔. Et ces 𝑔 à droite s’annuleront. Nous allons ensuite diviser les deux membres de l’équation par deux, et les deux à droite s’annuleront. Enfin, nous diviserons les deux membres de l’équation par 𝑣 𝑦, où les 𝑣 𝑦 de droite s’annuleront. Nous avons donc une expression pour 𝑣 𝑥, la vitesse horizontale de la grenouille.

Enfin, substituons notre expression à la vitesse verticale initiale de la grenouille dans cette équation. Et c’est notre expression finale pour la vitesse horizontale de la grenouille. Écrivons cela un peu plus proprement. La vitesse horizontale de la grenouille 𝑣 𝑥 est égale à l’accélération de la pesanteur 𝑔, multipliée par la portée horizontale de la grenouille, 𝑅, divisé par deux multiplié par la racine carrée de deux multiplié par l’accélération de la pesanteur, qui est 𝑔, multiplié par l’altitude maximale de la grenouille, qui est ℎ.

Nous savons que 𝑅 est égal à 16 centimètres, ℎ est égal à 3,6 centimètres et 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré. Avant de substituer ces valeurs, nous devons vérifier qu’elles sont toutes en unités SI. Cela signifie que toutes les longueurs doivent être exprimées en mètres et non en centimètres. Donc 𝑅 est égal à 0,6 mètre et ℎ est égal à 0,036 mètre. En les substituant dans notre équation, nous obtenons 𝑣 𝑥 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré multiplié par 0,16 mètres divisés par deux multiplié par la racine carrée de deux multipliés par 9,8 mètres par seconde au carré multiplié par 0,036 mètres. En évaluant toute cette expression, nous obtenons 𝑣 𝑥 est égal à 0,93 mètre par seconde à deux décimales. La vitesse horizontale de la grenouille est de 0,93 mètres par seconde.

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