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Vidéo de question : Déterminer deux nombres qui maximisent un produit compte tenu de leur somme en utilisant la dérivation Mathématiques

Déterminez les deux nombres dont la somme vaut 96 et dont le produit est le plus grand possible.

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Transcription de vidéo

Déterminez les deux nombres dont la somme vaut 96 et dont le produit est le plus grand possible.

Dans cette question, on nous demande de trouver les deux nombres que nous appellerons 𝑎 et 𝑏, dont la somme est égale à 96 et dont le produit est le plus grand possible. Nous pourrions essayer de résoudre ce problème en essayant différentes valeurs jusqu’à tomber sur la bonne combinaison. Cependant, dans ce cas, nous utiliserons une méthode plus formelle impliquant la dérivation. Nous allons commencer par poser le premier nombre 𝑎 égal à 𝑥. Ensuite, puisque 𝑎 plus 𝑏 est égal à 96, 𝑏 est égal à 96 moins 𝑥. Nous pouvons vérifier cela en ajoutant 𝑥 et 96 moins 𝑥, ce qui nous donne en effet une somme de 96. Ensuite, considérons le produit des deux nombres. Si nous nommons ce produit 𝑃, alors 𝑃 est égal à 𝑥 multiplié par 96 moins 𝑥. En développant les parenthèses, cela devient 96𝑥 moins 𝑥 au carré.

À ce stade, il convient de noter le signe devant le terme de plus haut degré. La question nous demande de trouver les valeurs où le produit est aussi grand que possible. Cela équivaut à la valeur maximale. Nous rappelons que si nous avons une fonction du second degré comme dans ce cas et que le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, nous aurons une parabole en forme de n. Elle aura donc un maximum. Nous savons que la pente 𝑚 en ce point sera égale à zéro. Nous savons que nous pouvons trouver la pente de n’importe quelle fonction en la dérivant. En utilisant la règle des puissances pour la dérivation, si 𝑃 est égal à 96𝑥 moins 𝑥 au carré, alors 𝑃 prime ou d𝑃 sur d𝑥 est égal à 96 moins deux 𝑥.

Nous pouvons alors trouver le maximum, ou le point critique, en fixant à zero la dérivée. Si zéro est égal à 96 moins deux 𝑥, alors en ajoutant deux 𝑥 des deux côtés, nous avons deux 𝑥 est égal à 96. En divisant par deux, 𝑥 est égal à 48. Cela signifie qu’au point critique, ou au maximum, 𝑥 est égal à 48. Nous rappelons que nous avons posé le premier des deux nombres 𝑎 égal à 𝑥. Par conséquent, 𝑎 est égal à 48. Puisque le deuxième nombre 𝑏 est égal à 96 moins 𝑥, cela équivaut à 96 moins 48, c’est-à-dire 48. Nous pouvons donc conclure que les deux nombres dont la somme est 96 et dont le produit est le plus grand possible sont 48 et 48.

Nous avons pu résoudre ceci en trouvant une expression pour le produit, en la dérivant puis en fixant la dérivée à zéro, car cela nous a donné le point où la pente était égale à zéro et donc le maximum.

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