Vidéo question :: Déterminer la Dérivée Première des Fonctions Polynomiales en un Point à l’Aide de la Règle du Produit Mathématiques

Transcription de la vidéo

Evaluez 𝑑g(x) sur 𝑑𝑥 en 𝑥 égale moins deux lorsque g(x) égale quatre 𝑥 moins une multiplié par moins trois 𝑥 au cube plus sept.

Nous cherchons 𝑑g(x) sur 𝑑𝑥, qui est la dérivée de g(x) par rapport à 𝑥. Et donc nous devons dériver quatre 𝑥 moins un multiplié par moins trois 𝑥 au cube plus sept par rapport à 𝑥. Dans cette vidéo, je voudrais montrer deux méthodes pour résoudre ce problème. Dans la première méthode, nous développerons le membre de droite en utilisant la propriété de distributivité, puis nous dériverons terme à terme. Et la deuxième méthode que nous verrons utilise la règle du produit pour la dérivation, ce qui nous permet de trouver la dérivée d’un produit de facteurs dès lors que nous connaissons les dérivées de ces facteurs.

J’en reparlerai plus tard, développons d’abord en utilisant la propriété de distributivité. A présent 𝑦 est écrit comme un polynôme dans 𝑥, que nous pouvons dériver terme par terme. Nous dérivons les deux côtés par rapport à 𝑥. Et comme dit précédemment, nous pouvons dériver chaque terme individuellement et ensuite ajouter ou soustraire les résultats selon le cas.

Maintenant, comment pouvons-nous dériver chaque terme ? Eh bien, nous avons une formule pour la dérivée d’une puissance de 𝑥 par rapport à 𝑥 : 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. En d’autres termes, pour dériver une puissance de 𝑥 par rapport à 𝑥, vous prenez une copie des exposants vers le bas en la multipliant par elle, puis vous réduisez l’exposant qui reste.

Et comme la dérivée d’un nombre fois une fonction est juste ce nombre fois la dérivée de la fonction, la dérivée 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑎 fois 𝑛 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Nous pouvons appliquer cette règle pour trouver 𝑑 sur 𝑑𝑥 de moins 12𝑥 puissance quatre avec 𝑎 égal à moins 12 et 𝑛 égal à quatre. Nous obtenons moins 12 fois quatre 𝑥 à la puissance quatre moins un qui est moins 48 𝑥 au cube.

En passant, la dérivée de 28𝑥 par rapport à 𝑥 n’est que 28 car la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 n’est que un. C’est quelque chose que vous pouvez calculer en utilisant la règle des puissances en prenant 𝑛 égal à un, ou tout simplement en sachant quelque chose sur les graphiques linéaires.

La dérivée de trois 𝑥 puissance trois par rapport à 𝑥 est neuf 𝑥 au carré, où le neuf provient de la multiplication du coefficient trois par l’exposant trois. Et après avoir multiplié, nous devons réduire l’exposant de un - de trois à deux.

Enfin, la dérivée de la fonction constante sept n’est que zéro. Donc, c’est ce que nous obtenons pour 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Si c’est ce que nous recherchons, alors nous voulons probablement échanger les deux derniers termes neuf 𝑥 au carré et 28 afin que les termes soient écrits par ordre de degré. Mais en fait, nous ne sommes pas intéressés par la dérivée en fonction de 𝑥. En dehors de cela, cela nous permet de trouver la dérivée lorsque 𝑥 est égal à moins deux.

Nous devons donc évaluer cette expression lorsque 𝑥 est égal à moins deux. En évaluant cela à l’aide d’une calculatrice, nous obtenons 448. Nous avons trouvé cette valeur en développant l’expression de 𝑦 en fonction de 𝑥 en utilisant la propriété de distributivité, puis en dérivant le polynôme que nous avons obtenu. Mais nous pouvons également résoudre ce problème en utilisant la règle du produit.

La règle du produit stipule que la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la première fonction multipliée par la dérivée de la deuxième fonction plus la dérivée de la première fonction multipliée par la deuxième fonction. Nous pouvons appliquer la règle du produit pour trouver la dérivée du produit de quatre 𝑥 moins un et moins trois 𝑥 au cube plus sept.

Avec 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 moins un et h de 𝑥 égale à moins trois 𝑥 au cube plus sept, le premier terme dans le membre de droite 𝑓 de 𝑥 fois la dérivée de h de 𝑥 devient quatre 𝑥 moins une fois la dérivée de moins trois 𝑥 au cube plus sept. Et le deuxième terme devient la dérivée de quatre 𝑥 moins un fois moins trois 𝑥 au cube plus sept.

Notre tâche maintenant est de trouver ces deux dérivées. Et nous le faisons en utilisant les règles vues plus tôt dans la vidéo. En particulier, nous avons besoin de la dérivée d’un nombre fois une puissance de 𝑥 par rapport à 𝑥. En utilisant cette règle et le fait que la dérivée de la fonction constante sept est zéro, nous constatons que la dérivée première est moins neuf 𝑥 au carré. Nous découvrons que la dérivée de quatre 𝑥 moins un par rapport à 𝑥 est quatre, soit en utilisant notre règle, soit en utilisant ce que nous savons des droites. Nous pouvons les remplacer, nous donnant 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥. Et puis, tout ce qui reste à faire est de substituer moins deux à 𝑥. Et ce faisant, nous obtenons 448 comme avant.

Ici, nous avons vu deux méthodes pour trouver la valeur de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en 𝑥 égale moins deux. Bien sûr, il y a d’autres méthodes que nous aurions pu utiliser. Nous aurions pu dériver cette valeur de nos premiers principes en utilisant la définition d’une dérivée en termes de limites.

Le fait que la règle du produit donne la même réponse que le développement que la dérivation terme par terme est encourageant car cela suggère que la règle du produit que nous avons est en fait correcte. De la même manière, vous pouvez vérifier que quelqu’un qui pense que la dérivée d’un produit de fonctions n’est que le produit de ses dérivées aura la mauvaise réponse. Si vous craignez de ne pas vous souvenir de la règle du produit correctement, vous pouvez vérifier que cela fonctionne sur un exemple simple comme celui-ci.

Dans ce problème, nous avons vu que nous n’avions pas besoin d’utiliser la règle du produit pour trouver la réponse. Mais dans d’autres problèmes, il n’y aura aucun autre moyen que d’utiliser la règle du produit. Nous devrons l’utiliser et nous devrons donc nous en souvenir.