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Vidéo question :: Déterminer l'équation d'une fonction affine à partir de son graphique après deux transformations Mathématiques • Deuxième année secondaire

La courbe représentative suivante correspond à une fonction 𝑔(𝑥) obtenue par symétrie par rapport à l’axe des 𝑥, et une homothétie horizontale de rapport 1/2. Lequel des choix ci-dessous représente la fonction d’origine 𝑓(𝑥) ? [A] 𝑓(𝑥) = -2𝑥 - 1 [B] 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 [C] 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 [D] 𝑓(𝑥) = -4𝑥 + 2 [E] 𝑓(𝑥) = -4𝑥 + 1

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Transcription de la vidéo

La courbe représentative suivante correspond à une fonction 𝑔 de 𝑥 obtenue par symétrie par rapport à l’axe des 𝑥, et une homothétie horizontale de rapport d’un demi. Lequel des choix ci-dessous représente la fonction d’origine 𝑓(𝑥) ? Est-ce (a) 𝑓 de 𝑥 égale moins deux 𝑥 moins un. Est-ce (b) 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus un. Est-ce (c) 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 plus deux. Est-ce (d) 𝑓 de 𝑥 égale moins quatre 𝑥 plus deux. Ou (e) 𝑓 de 𝑥 égale moins quatre 𝑥 plus un.

On nous précise que ce graphique représente une fonction 𝑔 de 𝑥 après deux transformations : une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 et une homothétie horizontale de rapport un demi. Pour trouver la fonction originale 𝑓 de 𝑥, il faut inverser ces transformations, en commençant par celle qui a été effectuée en dernier. Pour inverser l’homothétie horizontale de rapport un demi, on effectue une homothétie horizontale de rapport deux. Et pour inverser une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥, nous devons à nouveau effectuer une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥.

Ainsi, on connaît maintenant les deux transformations que l'on doit appliquer à 𝑔 de 𝑥 afin de retrouver 𝑓 de 𝑥. Et on peut le faire soit graphiquement, soit algébriquement. Commençons par utiliser une approche graphique. Notre première transformation va être l’homothétie horizontale de rapport deux. Pour une coordonnée 𝑦 donnée, on double la coordonnée 𝑥 correspondante. Chaque point se déplace donc deux fois plus loin horizontalement par rapport à l'axe des 𝑦. La droite rose représente le graphique de 𝑔 de 𝑥 après une homothétie horizontale de rapport deux. Ensuite, on doit effectuer une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. Ainsi, les points qui étaient au-dessus de l'axe des 𝑥 se trouvent maintenant à la même distance en dessous de celui-ci, et vice versa.

La droite orange représente maintenant la fonction après que les deux transformations ont été inversées. Donc la droite orange représente la fonction 𝑓 de 𝑥. On peut maintenant utiliser nos connaissances sur les graphiques des équations des droites pour trouver l'équation de la fonction 𝑓 de 𝑥. On utilisera la forme réduite de l'équation d'une droite : 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 représente le coefficient directeur et 𝑏 représente l'ordonnée 𝑦 à l'origine.

D'après le graphique, on peut constater que la droite croise l'axe des 𝑦 en un. La valeur de 𝑏 est donc un. On peut calculer le coefficient directeur de la droite en utilisant la formule 𝑚 égale 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un en repérant les coordonnées de deux points qui se trouvent sur la droite. On utilisera les points zéro, un et deux, cinq. En substituant ces valeurs dans la formule du coefficient directeur, on obtient cinq moins un sur deux moins zéro. Cela donne quatre sur deux, soit deux. Par conséquent, l'équation de la droite orange est 𝑦 égale deux 𝑥 plus un. Et donc la fonction 𝑓 de 𝑥 est 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus un. Parmi les cinq options qui nous étaient proposées, c'est l'option (B).

On a donc répondu à la question en utilisant l'approche graphique. En effet, nous avons inversé chacune des transformations graphiquement, puis nous avons trouvé une expression algébrique pour l'équation de la droite résultante. Examinons également une approche algébrique. Cette fois-ci, nous allons d'abord déterminer l'équation de la droite 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥, puis inverser les deux transformations algébriques.

Donc utilisons à nouveau nos connaissances sur les droites pour trouver l'équation de la droite 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥. D'après le graphique, on repère que cette droite a une intersection avec l’axe des 𝑦 en moins un. La droite a donc une équation de la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 moins un. En utilisant les deux points de coordonnées moins deux, sept et zéro, moins un, on peut calculer que le coefficient directeur de cette droite est sept moins moins un sur moins deux moins zéro, soit moins quatre. L'équation de cette droite est donc 𝑦 égale moins quatre 𝑥 moins un. Ou autrement dit, la fonction 𝑔 de 𝑥 égale moins quatre 𝑥 moins un.

On doit maintenant rappeler la transformation algébrique qui correspond aux deux transformations citées. Une homothétie horizontale a évidemment un effet horizontal. Et c'est donc la variable que nous modifions. On remplace 𝑥 par un demi de 𝑥, tandis que la symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 a un effet vertical et entraîne la multiplication de toute la fonction par moins un. Donc ℎ de 𝑥 correspond à moins ℎ de 𝑥. Il faut donc prendre l'équation de la fonction 𝑔 de 𝑥 et effectuer chacune de ces transformations algébriquement.

En effectuant d'abord l’homothétie horizontale, on obtient moins quatre multiplié par un demi de 𝑥 moins un, soit moins deux 𝑥 moins un. Puis, pour appliquer une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥, on multiplie toute la fonction par moins un, ce qui donne moins un multiplié par moins deux 𝑥 moins un, ce qui donne deux 𝑥 plus un. Encore une fois, nous avons trouvé que l'équation de la fonction originale 𝑓 de 𝑥 est 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus un.

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