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Vidéo de question : Déterminer la longueur d’une corde dans un cercle en résolvant deux équations linéaires Mathématiques

Sur la figure, les cercles de centres 𝐽 et 𝐾 sont superposables, 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷, 𝐴𝐵 = (3𝑥 + 7) cm, et 𝐶𝐷 = (8𝑥 + 12) cm. Calculez la longueur de 𝐴𝐵.

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Transcription de vidéo

Sur la figure, les cercles de centres 𝐽 et 𝐾 sont superposables. L’arc 𝐴𝐵 est superposable à l’arc 𝐶𝐷. La longueur 𝐴𝐵 est égale à trois 𝑥 plus sept centimètres et 𝐶𝐷 est égal à huit 𝑥 plus 12 centimètres. Calculez la longueur de 𝐴𝐵.

Tout d’abord, il y a une notation dans la question que nous devons démystifier : cette notation ici 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, avec un circonflexe au-dessus. Cette notation fait référence à l’arc mineur reliant les deux points - la distance la plus courte sur la circonférence entre les deux points. Il s’agit des arcs que j’ai surlignés en orange. La seconde utilisation de 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 cette fois sans circonflexe fait référence à la corde reliant ces deux points. Il s’agit des segments de droite entre les deux points - ceux que j’ai maintenant marqués en vert.

On nous a dit dans la question que les deux cercles sont superposables et que les deux arcs mineurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont de même longueur. On nous demande de déterminer la longueur de la corde 𝐴𝐵. Pour résoudre cette question, nous devons rappeler un fait clé sur les arcs et les cordes des cercles superposables.

Voici le fait essentiel. Pour des cercles superposables, deux arcs mineurs sont superposables si et seulement si les cordes correspondantes sont superposables. Le terme si et seulement si signifie que cette déclaration fonctionne dans les deux sens : deux arcs mineurs sont superposables si leurs cordes correspondantes sont superposables, mais aussi deux cordes correspondantes sont superposables si les deux arcs mineurs sont superposables.

Donc, comme nous savons que les deux arcs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont superposables, l’énoncé ci-dessus nous dit que cela implique que les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont également superposables. On nous a donné des expressions pour la longueur des deux cordes dans la question. Alors, puisqu’elles sont superposables, nous pouvons écrire une équation. Si nous disons que les deux expressions sont égales, nous obtenons l’équation trois 𝑥 plus sept égale huit 𝑥 plus 12.

Maintenant, notre objectif dans cette question est de calculer la longueur de la corde 𝐴𝐵. Et pour ce faire, nous devons connaître la valeur de 𝑥. Nous devons donc résoudre cette équation afin de déterminer 𝑥. Puisqu’il y a des termes en 𝑥 des deux côtés de l’équation, la première étape consiste à soustraire trois 𝑥 des deux côtés. Cela donne l’équation sept égale cinq 𝑥 plus 12. Ensuite, je soustrais 12 de chaque côté de l’équation. Cela donne moins cinq est égal à cinq 𝑥. La dernière étape pour résoudre cette équation consiste à diviser les deux côtés par cinq. Cela donne 𝑥 égal à moins un.

Maintenant, rappelons qu’il était important de connaître la valeur de 𝑥 car elle est nécessaire pour calculer la longueur de la corde 𝐴𝐵. Notre expression pour la longueur de la corde 𝐴𝐵 est trois 𝑥 plus sept. Maintenant que nous connaissons la valeur de 𝑥, nous pouvons la substituer dans notre expression afin de calculer la longueur de la corde 𝐴𝐵.

Nous obtenons que la corde 𝐴𝐵 est égale à trois multiplié par moins un, plus sept. Cela est égal à moins trois plus sept, soit quatre. Nous avons donc la réponse à notre problème. La longueur de la corde 𝐴𝐵 est de quatre centimètres.

Rappelons que le fait clé que nous avons utilisé dans cette question était que pour des cercles superposables, deux arcs mineurs sont superposables si et seulement si leurs cordes correspondantes sont également superposables.

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