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Vidéo de question : Déterminer dans quel quadrant se situe un angle étant donné des fonctions trigonométriques Mathématiques

Dans quel quadrant se situe l’angle 𝜃 vérifiant sin 𝜃 = 1/√2 et cos 𝜃 = 1/√2 ?

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Transcription de vidéo

Dans quel quadrant se situe l’angle 𝜃 vérifiant sinus 𝜃 est égal à un sur racine de deux et cosinus 𝜃 est égal à un sur racine de deux ?

Pour comprendre ce problème, nous allons utiliser le cercle trigonométrique. Alors, le cercle trigonométrique a pour centre l’origine. Il s’agit d’un cercle de rayon un. Très bien, seulement, comment l’utiliser ? Bien, examinons d’abord quatre points de ce cercle trigonométrique. Nous avons donc 𝑥, 𝑦 ; 𝑥, moins 𝑦 ; moins 𝑥, moins 𝑦; et moins 𝑥, moins 𝑦.

Si nous regardons dans le quadrant supérieur droit, où 𝑥, 𝑦 sont les coordonnées sur le cercle trigonométrique, alors, si nous considérons sinus 𝜃, il est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Dans cette figure, le côté opposé est simplement la variation de 𝑦, soit 𝑦. Puisqu’il s’agit d’un cercle unitaire, et comme l’hypoténuse est en fait le rayon, elle est donc de longueur un. Ainsi, vous obtenez 𝑦 sur un. Ce qui est simplement égal à 𝑦. Très bien, voilà donc sinus 𝜃.

Maintenant, si nous regardons le cosinus de 𝜃, il est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Dans cette figure, la longueur du côté adjacent est simplement 𝑥 car il s’agit de la variation de 𝑥. Encore une fois, l’hypoténuse vaut un car cette hypoténuse est le rayon du cercle, qui est égal à un. Ainsi, nous avons simplement 𝑥. Cosinus de 𝜃 est donc égal à 𝑥.

Très bien, à présent cherchons tangente 𝜃. Alors, tangente 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent. Bien, alors cela donne 𝑦 sur 𝑥. Très bien, nous avons maintenant dans le quadrant en haut à droite, le sinus de 𝜃 est simplement 𝑦, le cosinus de 𝜃 est simplement 𝑥 et tangente 𝜃 égale 𝑦 sur 𝑥. Notez bien ici qu’ils sont tous positifs. Ceci sera très important quand nous reviendrons là-dessus.

Bien, je vais rapidement étudier chaque autre quadrant et vous montrer ce que nous obtenons dans chacun d’eux. Ainsi, passons maintenant dans le quadrant en bas à droite où nous avons les coordonnée 𝑥, moins 𝑦, cette fois, sinus 𝜃 est égal à moins 𝑦, car il s’agit du côté opposé divisé par l’hypoténuse, qui est encore une fois le rayon, qui vaut un. Donc, ceci est égal à moins 𝑦.

Cosinus 𝜃, cette fois, est encore égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Donc, nous avons 𝑥. Nous obtenons la même chose parce que l’abscisse est toujours 𝑥. Puis, nous la divisons par un, l’hypoténuse. Ainsi, cosinus de 𝜃 est simplement égal à 𝑥. Enfin, tangente 𝜃 est égale à moins 𝑦 sur 𝑥 parce qu’il s’agit du côté opposé, qui est moins 𝑦, sur le côté adjacent, qui est 𝑥. Ainsi, cela donne moins 𝑦 sur 𝑥.

Bien, nous avons maintenant ces trois valeurs. Alors, qu’est-ce qui est important ici ? Bien, il est important de remarquer que seul le cosinus de 𝜃 est positif. Les deux autres sont tous les deux négatifs. Très bien ! Nous avons étudié deux quadrants. Passons au quadrant en bas à gauche.

Bien, dans le quadrant en bas à gauche, nous avons le point sur le cercle trigonométrique moins 𝑥, moins 𝑦. Nous voyons que sinus 𝜃 est égal à, encore une fois, le côté opposé sur l’hypoténuse. Ainsi, nous avons moins 𝑦 sur un, ce qui, encore une fois, donne moins 𝑦. Seulement, le cosinus de 𝜃 est égal à moins 𝑥 sur un, parce que cette fois nous avons aussi moins 𝑥. Cela donne moins 𝑥 comme réponse.

Enfin, examinons tangente 𝜃 ; cette fois, ceci est un peu différent car tangente 𝜃 est toujours le côté opposé sur le côté adjacent, soit moins 𝑦 sur moins 𝑥. En fait, moins 𝑦 sur moins 𝑥 donne simplement 𝑦 sur 𝑥. Ceci est important parce que nous obtenons un résultat positif. Ainsi, nous voyons en fait que dans le quadrant en bas à gauche, seul tangente 𝜃 est positif. Très bien, passons au dernier quadrant, celui en haut à gauche.

Ici, nous avons les coordonnées moins 𝑥, 𝑦 sur le cercle trigonométrique. Ainsi, sinus de 𝜃 est égal à 𝑦 sur un. Nous obtenons donc simplement 𝑦. Cosinus 𝜃 est égal à moins 𝑥 sur un. Ainsi, cette fois, nous obtenons moins 𝑥. Puis, tangente 𝜃 est simplement égal à 𝑦 sur moins 𝑥. Très bien, si nous regardons cela, nous voyons que seul sinus 𝜃 est positif. Très bien, nous avons terminé, mais en quoi est-ce utile ?

En fait, si nous regardons bien, nous avons trouvé les signes des fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique. Nous utilisons ce cercle en trigonométrie pour savoir où les fonctions trigonométriques sont positives ou négatives. Ainsi, nous voyons qu’en haut à droite, elles sont toutes positives. En haut à gauche, seul sinus 𝜃 est positif. En bas à gauche, seul tangente 𝜃 est positif. En bas à droite, seul cosinus de 𝜃 est positif.

Très bien, alors maintenant que nous avons ceci, nous pouvons nous en servir pour résoudre le problème. Si nous regardons les valeurs données dans la question, nous avons sinus 𝜃 égale un sur racine de deux. Cosinus 𝜃 est aussi égal à un sur racine de deux. Ainsi, nous savons que les deux sont positifs. Puisque sinus 𝜃 et cosinus 𝜃 sont tous les deux positifs, alors 𝜃 se trouve dans le quadrant supérieur droit car c’est là que tous les rapports trigonométriques sont positifs.

Nous en concluons que 𝜃 appartient au premier quadrant. Nous savons qu’il s’agit du premier quadrant, car nous avons numéroté les quadrants de un à quatre dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ainsi, en commençant en haut à droite, nous avons donc un, en haut à gauche deux, en bas à gauche trois et en bas à droite quatre. Ainsi, 𝜃 est bien dans le premier quadrant.

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