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Vidéo de question : Intégrer des fonctions trigonométriques Mathématiques

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par −7 sin 7𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par moins sept fois sinus sept 𝑥.

Il s'agit de déterminer la primitive d'une fonction trigonométrique. Et celle-ci se présente en fait comme une primitive trigonométrique usuelle qu’on doit mémoriser. Pour des constantes 𝑎 et 𝑛, où 𝑎 est non nul, la primitive de 𝑛 fois sinus 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑛 fois cosinus 𝑎𝑥 divisé par 𝑎 plus une constante d'intégration 𝑐.

On voit dans notre cas que nous multiplions notre fonction sinus par moins sept. On va donc fixer 𝑛 à la valeur moins sept. Et on voit qu'on considère sinus sept 𝑥, donc on fixe la valeur de 𝑎 à sept. On peut donc déterminer cette primitive en substituant simplement les valeurs de 𝑛 égale moins sept et 𝑎 égale sept dans notre règle d'intégration. On obtient moins un fois moins sept fois cosinus sept 𝑥 sur sept, plus une constante d'intégration 𝑐.

Il est possible de simplifier cette réponse. D'abord, moins un fois moins sept donne sept. On peut ensuite simplifier par le facteur commun sept dans notre numérateur et notre dénominateur. Ce qui nous donne notre réponse finale, cosinus sept 𝑥 plus 𝑐. Donc nous avons montré que la primitive de moins sept fois sinus sept 𝑥 est égale à cosinus sept 𝑥 plus une constante d'intégration 𝑐.

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