Transcription de la vidéo
Trouvez la dérivée première de 𝑦 égale 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 moins deux à la puissance six, en un, moins quatre.
Donc, si nous regardons ce que nous essayons de dériver ici, nous avons 𝑦 égale 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 moins deux et c’est à la puissance six. Eh bien, c’est sous la forme 𝑦 égale à 𝑢𝑣. Nous pouvons donc utiliser la règle du produit. Et ce que la règle du produit nous dit, c’est que si nous avons 𝑦 égal 𝑢𝑣, alors d𝑦 sur d𝑥, la dérivée, est égal à 𝑢 d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 d𝑢 sur d𝑥, où cela signifie que vous avez 𝑢 multiplié par la dérivée de 𝑣 plus 𝑣 multiplié par la dérivée de 𝑢.
Donc, dans notre fonction, nous avons 𝑥 moins cinq qui est notre 𝑢 et 𝑥 moins deux à la puissance six qui est notre 𝑣. Et donc, si nous avons 𝑢 égal à 𝑥 moins cinq, nous pouvons trouver d𝑢 sur d𝑥 en dérivant par rapport à 𝑥. On obtient juste un. Et c’est parce que si vous dérivez 𝑥, si vous multipliez l’exposant par le coefficient, ce serait un multiplié par un. Et puis vous réduisez la puissance de 𝑥. Eh bien, ce serait 𝑥 à la puissance zéro. Donc, il ne nous reste que un.
Et puis, si vous dérivez moins cinq, vous obtenez juste zéro. Donc, d𝑢 sur d𝑥, ou la dérivée de 𝑢, est un. Et puis, si vous avez 𝑣 égal à 𝑥 moins deux à la puissance six, alors la dérivée de cela va être égal à six multiplié par 𝑥 moins deux à la puissance cinq.
Et pour calculer cela, afin de dériver 𝑥 moins deux à la puissance six, nous utilisons ce qu’on appelle la règle de dérivation en chaîne. Et la règle de dérivation en chaîne nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 multiplié par d𝑡 sur d𝑥. Et je vais vous montrer ce que cela signifie et comment nous l’utilisons. Donc, si nous avons 𝑦 égal à 𝑥 moins deux le tout à la puissance six, et qu’alors nous disons que 𝑡 est égal à 𝑥 moins deux, alors, 𝑦 doit être égal à 𝑡 à la puissance six.
Alors tout d’abord, ce que nous allons faire, c’est travailler sur d𝑦 sur d𝑡. Et pour calculer d𝑦 sur d𝑡, nous dérivons. Donc, nous avons 𝑡 à la puissance six. Et si nous dérivons cela, nous obtenons six 𝑡 à la puissance cinq. Et encore une fois, nous avons multiplié l’exposant par le coefficient, donc six par un, ce qui nous donne six. Et puis, nous avons réduit l’exposant d’une unité. Donc, nous avons 𝑡 à la puissance cinq.
Et puis, si nous dérivons 𝑡 par rapport à 𝑥, nous en obtenons un. Donc, d𝑡 sur d𝑥 est égal à un. Et nous avons déjà expliqué pourquoi. Donc, si nous substituons cela dans notre règle de dérivation en chaîne, nous allons obtenir que la dérivée, ou d𝑦 sur d𝑥, est égale à six 𝑡 à la puissance cinq, parce que c’était notre d𝑦 sur d𝑡, multiplié par un, car un était notre d𝑡 sur d𝑥.
Donc, si nous substituons dans notre valeur pour 𝑡, qui était 𝑥 moins deux, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égal à six multiplié par 𝑥 moins deux le tout à la puissance cinq. Donc, c’est ce que nous avons quand nous revenons à ce que nous faisions avec la dérivée originale.
Très bien, donc, si nous revenons à ce que nous faisions, nous avons maintenant 𝑢, d𝑢 sur d𝑥, 𝑣 et d𝑣 sur d𝑥. Donc, maintenant, nous pouvons utiliser notre règle du produit. Donc, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égal à notre 𝑢 d𝑣 sur d𝑥, qui est 𝑥 moins cinq multiplié par six 𝑥 moins deux à la puissance cinq, puis plus notre 𝑣 d𝑢 sur d𝑥, qui est 𝑥 moins deux le tout à la puissance six multiplié par un. Donc, maintenant, nous allons réécrire ceci pour faciliter la simplification.
Ainsi, lorsque nous le réécrivons, nous obtenons six multiplié par 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 moins deux le tout à la puissance cinq plus 𝑥 moins deux le tout à la puissance six. D’accord, donc, nous cherchons généralement à simplifier davantage, peut-être à développer les parenthèses. Cependant, nous n’avons pas besoin de le faire dans ce problème car nous avons reçu une valeur à substituer dans notre dérivée.
Et cette valeur est 𝑥 égal à un parce que ce que nous essayons de faire est de trouver la dérivée première de notre fonction en un, moins quatre. Donc, si nous substituons 𝑥 égale un, nous allons obtenir six multiplié par un moins cinq multiplié par un moins deux le tout à la puissance cinq plus un moins deux le tout à la puissance six. Donc, cela va nous donner six multiplié par moins quatre multiplié par alors nous avons moins un à la puissance cinq puis plus moins un à la puissance six.
Donc, ça va nous donner 24 plus un. Et nous obtenons 24 pour la première partie parce que si vous avez six multiplié par moins quatre, c’est moins 24. Ensuite, si vous multipliez cela par moins un, cela nous donnera 24. Et c’est moins un parce que si vous élevez le moins un à la puissance cinq, c’est un exposant impair. Et si c’est un exposant impair, nous obtenons une réponse négative, si c’est déjà négatif. Parce que le signe restera le même. Cependant, nous ajoutons un parce que nous avons moins un à la puissance six, qui est un exposant pair. Le moins devient plus. Donc, c’est juste un.
Nous pouvons donc dire que la dérivée première de 𝑦 égale 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 moins deux le tout à la puissance six au point un, moins quatre va être 25.