Transcription de la vidéo
Un objet a un vecteur vitesse initial de 32 mètres par seconde. L’objet accélère avec une accélération de 12 mètres par seconde au carré dans la direction opposée à son vecteur vitesse pendant une durée de 5,5 secondes. Quel est le déplacement net de l’objet dans le sens de son vecteur vitesse initial pendant cette durée ?
Dans cette question, on parle du mouvement d’un objet. Représentons cet objet par ce cercle bleu ici. L’énoncé nous dit que cet objet a un vecteur vitesse initial de 32 mètres par seconde et nous allons appeler ce vecteur vitesse initial 𝑢. Rappelons que le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu’il a une norme et aussi un sens. Cette valeur de 32 mètres par seconde est la norme du vecteur vitesse initial de l’objet. On ne nous dit pas dans quel sens est dirigé ce vecteur vitesse initial, mais sur la figure, supposons qu’il soit dirigé vers la droite.
Ce que nous savons, c’est que quel que soit le sens du vecteur vitesse initial, l’accélération est dirigée dans le sens opposé. Sur la figure, alors, comme le vecteur vitesse initial est dirigé vers la droite, l’accélération doit être dirigée vers la gauche. On nous dit que l’accélération a une valeur de 12 mètres par seconde au carré. Cette valeur est la norme de l’accélération et elle est dirigée vers la gauche. Comme elle a une norme et aussi un sens, alors, tout comme le vecteur vitesse, l’accélération est également une grandeur vectorielle. Alors, au lieu de raisonner simplement en termes de gauche et droite, il peut être plus utile de définir un sens positif et un sens négatif.
Définissons le sens du vecteur vitesse initial, qui est vers la droite, comme le sens positif. Si la droite est le sens positif, alors la gauche est le sens négatif. L’objet a une accélération de 12 mètres par seconde au carré dans le sens négatif, vers la gauche. Nous pourrions également l’exprimer comme étant une accélération dirigée vers la droite, avec une valeur de moins 12 mètres par seconde au carré. On peut alors dire que la valeur de l’accélération dans le sens du vecteur vitesse initial de l’objet est de moins 12 mètres par seconde au carré. Appelons cette accélération 𝑎.
Le fait que l’accélération soit négative signifie qu’elle tend à réduire la vitesse mesurée dans le sens du mouvement initial de l’objet. On nous dit que l’objet subit cette accélération pendant une durée de 5,5 secondes, que nous appellerons 𝑡. Dans la question, on nous demande de déterminer le déplacement net de l’objet dans le sens de son vecteur vitesse initiale après un temps de 5,5 secondes. Nous avons appelé ce déplacement net 𝑠. Si la valeur de 𝑠 est positive, il s’agit donc d’un déplacement net positif, dans le sens du vecteur vitesse initial de l’objet, cela signifie que le déplacement net 𝑠 se fait dans le même sens que le vecteur vitesse initial 𝑢.
Sur la figure, ce sens est vers la droite. Et comme nous avons dessiné le vecteur déplacement vers la droite, et donc l’objet après déplacement à droite de son point de départ, pour faire ce schéma, nous avons implicitement décidé que 𝑠 était positif. Mais, si lorsque nous calculons 𝑠, nous obtenons une valeur négative, cela signifie que le déplacement net est dirigé vers la gauche, dans le sens opposé au vecteur vitesse initial.
Afin de déterminer la valeur de 𝑠, rappelons qu’il existe une équation cinématique qui relie le vecteur vitesse initial d’un objet, son accélération, le temps pendant lequel il accélère et son déplacement après ce temps. Cette équation dit que 𝑠 est égal à 𝑢 fois 𝑡 plus un demi fois 𝑎 fois 𝑡 au carré. Il est possible d’utiliser cette équation, si l’objet se déplace en ligne droite avec une accélération de valeur constante.
Dans cette question, l’accélération de l’objet prend une seule valeur, moins 12 mètres par seconde au carré. Comme cette valeur ne change pas dans le temps, nous pouvons donc dire que l’accélération est constante. De plus, l’accélération se fait dans le même sens que le vecteur vitesse initial de l’objet. Comme il n’y a pas d’accélération dans d’autres directions que cette direction gauche-droite, l’objet peut seulement accélérer ou ralentir le long de cette droite. Nous pouvons donc dire que le mouvement se fait en ligne droite. Comme ces deux conditions sont remplies, nous pouvons donc continuer et utiliser cette équation pour trouver la valeur de 𝑠.
En remplaçant le vecteur vitesse initial 𝑢 par 32 mètres par seconde, l’accélération 𝑎 par moins 12 mètres par seconde au carré et le temps 𝑡 par 5,5 secondes. Nous obtenons cette expression pour le déplacement net 𝑠. Comme les valeurs de 𝑢 et 𝑎 que nous avons remplacées sont mesurées dans le sens du vecteur vitesse initial de l’objet, la valeur de 𝑠 que nous allons calculer sera le déplacement net dans le sens du vecteur vitesse initial de l’objet.
Calculons maintenant cette expression en commençant par le premier terme sur le côté droit. Nous avons une vitesse en mètres par seconde multipliée par un temps en secondes. Nous pouvons voir que les secondes et par seconde se simplifient pour laisser seulement des mètres. En multipliant 32 par 5,5, nous obtenons que ce premier terme est égal à 176 mètres. Nous devons ensuite ajouter ce deuxième terme, qui est égal à un demi, multiplié par une accélération en mètres par seconde au carré multipliée par le carré d’un temps en secondes.
Lorsque nous prenons le carré d’un terme en secondes, nous obtenons un résultat en secondes au carré. Ensuite, les secondes au carré et les par secondes au carré se simplifient, pour laisser des mètres comme pour le premier terme. Nous pouvons alors réécrire ce deuxième terme comme un demi multiplié par moins 12 multiplié par le carré de 5,5, en mètres. En faisant le calcul, nous obtenons un résultat pour le deuxième terme de moins 181,5 mètres.
Finalement, nous avons donc que 𝑠 est égal à 176 mètres plus moins 181,5 mètres. Nous pouvons écrire cela plus simplement comme 176 mètres moins 181,5 mètres. Cela correspond à un déplacement net dans le sens du vecteur vitesse initial de l’objet de moins 5,5 mètres. Comme cette valeur est négative, cela signifie que l’objet ne se déplace pas en fait vers la droite, comme nous l’avons dessiné sur le schéma. Au contraire, il se déplace vers la gauche dans le sens opposé au vecteur vitesse initial. Il est intéressant de prendre un moment pour voir comment cela peut se produire.
Si l’objet se déplace initialement vers la droite, comment peut-il finalement se déplacer vers la gauche ? Rappelons que les vecteurs peuvent être représentés par des flèches, dont la pointe de la flèche représente le sens du vecteur et la longueur de la flèche représente la norme du vecteur. Au départ, le vecteur vitesse de l’objet est dirigé vers la droite et sa norme vaut 32 mètres par seconde. Mais ensuite, pendant un intervalle de 5,5 secondes, l’objet accélère vers la gauche.
Nous pouvons représenter cela par un vecteur d’accélération dirigé vers la gauche avec une longueur, ou une norme constante, de 12 mètres par seconde au carré. Puisque l’accélération d’un objet est définie comme la variation de vitesse de cet objet par rapport au temps, alors, sur cet intervalle de 5,5 secondes, ce vecteur d’accélération opposé au vecteur vitesse a pour effet de rendre le vecteur vitesse de plus en plus court. À un moment donné, la longueur du vecteur vitesse vaut instantanément zéro. À ce moment, l’objet est immobile pendant un bref instant car l’accélération le fait ralentir et le force à s’arrêter.
Comme l’objet subit toujours une accélération vers la gauche, dès qu’il a cessé de se déplacer vers la droite, il commence à se déplacer vers la gauche. Nous avons donc un vecteur vitesse dirigé vers la gauche et la longueur de ce vecteur augmente de plus en plus tant qu’il subit une accélération. Le point important est que, bien qu’au début de l’intervalle de temps, l’objet se déplace vers la droite, à la fin de l’intervalle, il se déplace dans le sens opposé, vers la gauche. Sur l’ensemble de cet intervalle de temps donc, l’objet se déplace initialement vers la droite.
Et puis à cause de l’accélération dirigée vers la gauche, son vecteur vitesse dirigé vers la droite devient de plus en plus court à mesure que l’objet ralentit et il finit par s’arrêter complètement. À ce moment, l’objet cesse de se déplacer vers la droite et commence immédiatement à se déplacer vers la gauche. Puis, à cause de l’accélération dirigée vers la gauche, son vecteur vitesse, qui est dirigé vers la gauche, augmente encore plus. Finalement, l’objet s’est déplacé vers la gauche par rapport à son point de départ, ce qui correspond à un déplacement négatif dans le sens de son vecteur vitesse initial.
Comme nous avons déterminé que 𝑠 est égal à moins 5,5 mètres, cela signifie que l’objet s’est finalement déplacé de 5,5 mètres vers la gauche à partir de son point de départ. Dans la question, on nous demande déterminer le déplacement de l’objet mesuré dans le sens de son vecteur vitesse initial. Nous avons établi que le déplacement net de l’objet dans ce sens est égal à moins 5,5 mètres.