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Vidéo de question : Déterminer une primitive d’une fonction rationnelle impliquant une factorisation de la différence de deux carrés Mathématiques

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par ∫(𝑥² −16)/(3𝑥² - 12𝑥) d𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥 au carré moins 16 sur trois 𝑥 au carré moins 12𝑥 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de déterminer une primitive du quotient de deux fonctions. En fait, c’est le quotient de deux polynômes, c’est ce que nous appelons une fonction rationnelle. Mais nous ne savons pas en général comment intégrer une fonction rationnelle. Nous allons donc devoir utiliser une forme de manipulation. Dans ce cas, il existe plusieurs options différentes. Par exemple, nous pourrions utiliser la division euclidienne pour diviser notre numérateur par notre dénominateur. Cela nous donnerait une nouvelle intégrale. Et nous pourrions alors essayer d’intégrer cela en utilisant nos règles d’intégration.

Cependant, il existe une méthode que nous pouvons avant de faire cela. Nous pouvons toujours essayer de factoriser notre numérateur et notre dénominateur. Essayons donc de factoriser à la fois notre numérateur et notre dénominateur. Commençons par le numérateur. Nous pouvons voir que 𝑥 au carré et 16 sont des carrés, nous pouvons donc nous rappeler que nous pouvons factoriser cela en utilisant la différence de deux carrés. Nous avons 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré qui est égal à 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. Ainsi, en fixant 𝑎 égale 𝑥 et 𝑏 égale quatre, nous pouvons factoriser notre numérateur pour obtenir 𝑥 moins quatre fois 𝑥 plus quatre. Mais nous devons encore factoriser notre dénominateur. Nous avons deux facteurs communs qui sont trois et 𝑥 dans notre dénominateur.

Ainsi, en factorisant par trois 𝑥 au dénominateur, nous devons multiplier notre premier terme par 𝑥 pour obtenir trois 𝑥 au carré. Et nous devons multiplier notre deuxième terme par moins quatre pour obtenir moins 12𝑥. Cela nous donne un nouveau dénominateur de trois 𝑥 fois 𝑥 moins quatre. Nous avons donc pu réécrire notre intégrale comme l’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑥 moins quatre fois 𝑥 plus quatre sur trois 𝑥 multiplié par 𝑥 moins quatre. Ainsi, nous pouvons voir quelque chose d’intéressant. Notre numérateur et notre dénominateur ont tous les deux un facteur commun, 𝑥 moins quatre. Nous pouvons simplifier par ce facteur commun pour simplifier notre intégrande. Cela nous donne l’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑥 plus quatre sur trois 𝑥.

Cela est encore difficile à intégrer. Cependant, nous pouvons rendre cela beaucoup plus facile à intégrer si nous divisons cette fraction en deux. Nous allons diviser notre intégrande en deux pour obtenir l’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑥 sur trois 𝑥 plus quatre sur trois 𝑥. Et maintenant, nous pouvons simplifier encore plus. Dans le premier terme de notre intégrande, nous pouvons simplifier par 𝑥, ce qui signifie que nous devons maintenant intégrer un sur trois plus quatre sur trois 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons maintenant faire cela terme à terme. Tout d’abord, nous pouvons intégrer la constante un tiers en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Ou nous pouvons simplement nous rappeler que 𝑥 sur trois sera une primitive de un tiers. Dans tous les cas, nous obtenons 𝑥 sur trois.

Ensuite, pour calculer l’intégrale de notre deuxième terme, nous devons nous rappeler de l’intégration des fonctions inverses. Nous savons que pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale de 𝑎 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois ln de valeur absolue de 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Et dans notre cas, la valeur de la constante 𝑎 est égale à quatre sur trois. Nous obtenons donc que l’intégrale de notre deuxième terme est quatre sur trois fois ln de valeur absolue de 𝑥. Et rappelez-vous, nous devons ajouter une constante d’intégration 𝐶. Et cela nous donne notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons montré que les primitives de 𝑥 au carré moins 16 sur trois 𝑥 carré moins 12𝑥 par rapport à 𝑥 sont de la forme 𝑥 sur trois plus quatre sur trois fois ln de valeur absolue de 𝑥 plus une constante 𝐶.

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