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Vidéo de question : Détermination de l’équation d’un plan sous forme vectorielle Mathématiques

Déterminez la forme vectorielle de l'équation du plan contenant les deux droites d'équations 𝐫₁ = (𝐢 − 𝐣 − 3𝐤) + 𝑡₁(3𝐢 + 3𝐣 + 4𝐤) et 𝐫₂ = (−𝐢 − 2𝐣 − 3𝐤) + 𝑡₂(−𝐢 − 2𝐣 − 4𝐤).

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Transcription de vidéo

Déterminez la forme vectorielle de l’équation du plan contenant les deux droites 𝐫 un égale 𝐢 moins 𝐣 moins trois 𝐤 plus 𝑡 un multiplié par trois 𝐢 plus trois 𝐣 plus quatre 𝐤 et 𝐫 deux égale à moins 𝐢 moins deux 𝐣 moins trois 𝐤 plus 𝑡 deux fois moins 𝐢 moins deux 𝐣 moins quatre 𝐤.

Cette question demande de trouver la forme vectorielle de l’équation d’un plan. On nous donne pour cela l’équation de deux droites appartenant au plan. Donc, pour répondre à cette question, rappelons d’abord la forme vectorielle de l’équation d’un plan. C’est une équation sous la forme : le produit scalaire des vecteurs 𝐧 et 𝐫 est égal à 𝑑, où 𝐧 est un vecteur normal au plan et 𝑑 est une constante.

Donc, pour trouver la forme vectorielle de l’équation d’un plan, il nous faut trouver un vecteur normal au plan. On peut le trouver en remarquant qu’on nous donne deux droites appartenant au plan. Cela implique que les deux droites sont parallèles au plan. Donc, les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires au plan. Et on connaît les vecteurs directeurs des deux droites. Le vecteur directeur de la première droite, 𝐝 indice un, est trois 𝐢 plus trois 𝐣 plus quatre 𝐤. Et le vecteur directeur de la deuxième droite, 𝐝 indice deux, est moins 𝐢 moins deux 𝐣 moins quatre 𝐤.

Donc, pour qu’un vecteur soit normal au plan, il doit être orthogonal aux deux vecteurs directeurs des droites. En particulier, on peut obtenir un vecteur normal aux vecteurs directeurs en calculant leur produit vectoriel. On le trouve en calculant le déterminant de la matrice de dimension trois fois trois dont la première ligne se compose des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et les deuxième et troisième lignes de cette matrice sont les composantes des vecteurs. Donc, le vecteur normal 𝐧 est le déterminant de la matrice de dimension trois fois trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, moins un, moins deux, moins quatre, trois, trois, quatre. Notez qu’on peut inverser l’ordre des deuxième et troisième lignes. La seule différence est qu’on multiplie le vecteur normal par moins un.

On peut maintenant calculer ce déterminant par développement selon la première ligne. On obtient 𝐢 fois le déterminant de la matrice moins deux, moins quatre, trois, quatre moins 𝐣 multiplié par le déterminant de la matrice moins un, moins quatre, trois, quatre plus 𝐤 fois le déterminant de la matrice moins un, moins deux, trois, trois. Il ne reste maintenant plus qu’à calculer le déterminant de ces trois matrices. On peut le faire en rappelant que le déterminant d’une matrice de dimension deux est la différence des produits de ses diagonales. En calculant le déterminant de chaque matrice et en simplifiant, on obtient 𝐢 multiplié par moins huit plus 12 moins 𝐣 fois moins quatre plus 12 plus 𝐤 fois moins trois plus six.

Il ne reste plus qu’à calculer les composantes de ce vecteur. On obtient quatre 𝐢 moins huit 𝐣 plus trois 𝐤. On a donc trouvé 𝐧, un vecteur normal au plan. Il reste à trouver la valeur de la constante 𝑑. On peut le faire en mettant le vecteur normal 𝐧 dans l’équation du plan et en utilisant un point connu du plan.

Rappelons que le vecteur 𝐫 est le vecteur position d’un quelconque point du plan. Il faut donc trouver le vecteur position d’un point appartenant au plan. On peut le trouver en remarquant que les deux droites appartiennent au plan. En particulier, on peut choisir le vecteur 𝐫 zéro égale 𝐢 moins 𝐣 moins trois 𝐤 comme vecteur position d’un point du plan, car il appartient à la première droite. Donc, la valeur de la constante 𝑑 est le produit scalaire du vecteur normal par ce vecteur position du point de la droite.

Il nous reste donc à calculer le produit scalaire du vecteur quatre, moins huit, trois par le vecteur un, moins un, moins trois. Pour ce faire, rappelons que pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs de dimensions égales, il suffit de calculer la somme des produits des composantes correspondantes. Ce calcul donne quatre fois un plus moins huit multiplié par moins un plus trois fois moins trois, ce qu’on peut calculer. Et on obtient quatre plus huit moins neuf, ce qui est égal à trois ; on obtient donc une valeur de 𝑑 égale à trois.

On peut donc utiliser ce vecteur normal 𝐧 et cette constante 𝑑 dans l’équation du plan sous forme vectorielle, ce qui nous donne que le produit scalaire du vecteur quatre, moins huit, trois par 𝐫 égale trois est la forme vectorielle de l’équation du plan contenant les deux droites 𝐫 indice un et 𝐫 indice deux.

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