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Déterminez d𝑦 sur d𝑥, sachant que 𝑦 égale moins neuf tangente six 𝑥 moins cosécante sept 𝑥.
En examinant la fonction que nous devons dériver, on constate qu'elle est composée d'une fonction trigonométrique, tangente de six 𝑥, et de l’inverse d’une fonction trigonométrique, cosécante de sept 𝑥, qui est égale à un sur sinus de sept 𝑥. Pour déterminer chacune de ces dérivées, il nous faut donc rappeler les résultats classiques de la dérivation de chacune de ces fonctions. Pour commencer, la dérivée par rapport à 𝑥 de tangente de 𝑎𝑥 pour une constante 𝑎 est égale à 𝑎 fois sécante au carré de 𝑎𝑥. On peut voir cela en rappelant que tangente 𝑎𝑥 égale sinus 𝑎𝑥 sur cosinus 𝑎𝑥, et qu'on pourrait alors appliquer la règle du quotient pour trouver cette dérivée, en appliquant les résultats standards pour la dérivation des fonctions sinus et cosinus.
On rappelle également que la dérivée par rapport à 𝑥 de cosécante de 𝑎𝑥 est égale à moins 𝑎 fois cosécante 𝑎𝑥 multipliée par cotangente 𝑎𝑥. Là encore, on peut le voir en considérant cosécante 𝑎𝑥 comme un sur sinus 𝑎𝑥, et en appliquant la règle du quotient en utilisant notre fonction 𝑢 au numérateur comme un et notre fonction 𝑣 au dénominateur comme sinus 𝑎𝑥. Bien qu'il soit important de savoir comment dériver chacun de ces résultats, il est également très utile de les mémoriser car il suffit de les citer et de les appliquer dans des situations comparables.
Trouvons maintenant une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Appliquant la première règle, on a que la dérivée de moins neuf tangente six 𝑥 est égale à moins neuf fois six sécante carrée de six 𝑥. En appliquant la deuxième règle, la dérivée de cosécante sept 𝑥 sera moins sept cosécante sept 𝑥 cotangente sept 𝑥. Donc, notre expression pour d𝑦 sur d𝑥 est moins neuf fois six sécante carrée de six 𝑥 moins moins sept cosécante sept 𝑥 cotangente sept 𝑥. On peut simplifier les coefficients en moins 54 et plus sept, puis réorganiser les termes pour que le terme positif vienne en premier, si on le souhaite. On trouve alors que d𝑦 sur d𝑥 est égal à sept cosécante sept 𝑥 cotangente sept 𝑥 moins 54 sécante carrée de six 𝑥.
Rappelez-vous, il faut savoir comment dériver chacun de ces résultats à l'aide de la règle du quotient, mais il est également utile de les mémoriser.
