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Vidéo de question : Analyse du mouvement d’un système composé de deux objets reliés par une poulie, avec un corps suspendu verticalement et l’autre posé sur un plan horizontal rugueux Mathématiques

Un corps de masse 162 est placé sur un plan rugueux incliné par rapport à l'horizontale d'un angle dont la tangente est 4/3. Il est lié par une corde légère inextensible qui passe sur une poulie lisse fixée au sommet du plan, à un autre objet de masse 181 g qui pend librement, verticalement en-dessous de la poulie. Le coefficient de frottement entre le premier objet et le plan est 1/2. Déterminez la distance parcourue par le système durant les premières 7 secondes de son mouvement, sachant que les objets sont relâchés du repos. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Un corps de masse 162 grammes est placé sur un plan rugueux incliné par rapport à l'horizontale d'un angle dont la tangente est quatre tiers. Il est lié par une corde légère inextensible qui passe sur une poulie lisse fixée au sommet du plan, à un autre objet de masse 181 grammes qui pend librement, verticalement en-dessous de la poulie. Le coefficient de frottement entre le premier objet et le plan est de un demi. Déterminez la distance parcourue par le système durant les premières 7 secondes de son mouvement, sachant que les objets sont relâchés du repos. On prendra 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carrée.

Nous allons commencer par faire un schéma. On nous dit que le plan est incliné par rapport à l’horizontale selon un angle 𝛼, avec tangente 𝛼 égale à quatre tiers. En utilisant nos connaissances en trigonométrie dans les triangles rectangles, nous savons que tangente 𝛼 est égale au côté opposé sur le côté adjacent. Comme nous avons un triplet de Pythagore, trois-quatre-cinq, nous savons que sinus 𝛼 est égal à quatre cinquièmes et cosinus 𝛼 est égal à trois cinquièmes.

Les deux corps ont une masse de 162 grammes et 181 grammes. Comme il y a 1000 grammes dans un kilogramme, les masses sont égales respectivement à 0,162 kilogramme et 0,181 kilogramme. On nous dit que l’accélération de la pesanteur est égale à 9,8 mètres par seconde carrée, ce qui signifie que la force qui s’exerce vers le bas sur le corps A est égale à 0,162 multiplié par 𝑔. La force qui s’exerce vers le bas sur le corps B est égale à 0,181 multipliée par 𝑔.

Nous avons une corde fine et inextensible qui passe par une poulie lisse. Cela signifie que la tension le long de la corde sera la même. Cela signifie également que les deux corps vont se déplacer avec la même accélération. On nous dit que le plan est rugueux, ce qui signifie qu’il va exister une force de frottement 𝐹 r s’opposant au mouvement. Dans notre cas, lorsque le corps A va monter la pente, la force de frottement va agir dans le sens opposé. Nous avons aussi une force de réaction qui agit perpendiculairement au plan. Nous allons maintenant utiliser la deuxième loi de Newton, qui dit que la somme des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération, qui s’écrit généralement 𝐹 égale 𝑚𝑎. Pour le corps B, nous allons l’appliquer verticalement et pour le corps A, nous allons l’appliquer parallèlement et perpendiculairement au plan.

Pour cela, nous devons déterminer les deux composantes du poids, 0,162 multiplié par 𝑔. En utilisant nos connaissances en trigonométrie dans le triangle rectangle, nous voyons que la composante de la force perpendiculaire au plan est égale à 0,162𝑔 multipliée par cosinus 𝛼. La composante de la force parallèle au plan est égale à 0,162𝑔 multipliée par sinus 𝛼. Nous savons que sinus 𝛼 est égal à quatre cinquièmes soit 0,8 et cosinus 𝛼 est égal à trois cinquièmes soit 0,6.

En appliquant l’équation perpendiculairement au plan pour le corps A, la somme des forces est égale à 𝑟 moins 0,162𝑔 multiplié par 0,6. Ceci est égal à 0,162 multiplié par zéro car le corps n’accélère pas dans cette direction. Nous pouvons simplifier cela en multipliant 0,162, 9,8 et 0,6. Cela nous donne 𝑟 moins 0,95256 égal à zéro. En ajoutant 0,95256 aux deux membres, nous obtenons une valeur de 𝑟 égale à ce nombre. La force de réaction normale est égale à 0,95256 newtons.

Nous pouvons maintenant appliquer l’équation parallèlement au plan pour le corps A. Nous avons trois forces qui agissent dans cette direction : la tension de la corde, la force de frottements et 0,162𝑔 multipliée par 0,8. Comme le corps se déplace vers le haut du plan, nous avons 𝑇 moins 𝐹 r moins 0,162𝑔 multiplié par 0,8 égal à 0,162𝑎. Cela se simplifie en 𝑇 moins 𝐹 r moins 1,27008 égal à 0,162𝑎.

Nous savons que comme il s’agit d’une surface rugueuse, la force de frottement 𝐹 r est égale à 𝜇, le coefficient de frottement, multiplié par la force de réaction normale. Dans cette question, on nous dit que 𝜇 est égal à un demi. La force de frottement est donc égale à la moitié de la force de réaction normale. Puisque cette force vaut 0,95256, nous pouvons donc la multiplier par un demi et remplacer dans l’équation. Cela nous donne 𝑇 moins 1,74636 égal à 0,162𝑎.

Considérons maintenant le corps B et écrivons l’équation selon la direction verticale. Comme le corps accélère vers le bas, nous allons considérer ce sens comme le sens positif. Nous avons 0,181𝑔 moins 𝑇 égal à 0,181𝑎. En multipliant 0,181 par 9,8, nous obtenons 1,7738. Nous avons maintenant deux équations à deux inconnues, la tension 𝑇 et l’accélération 𝑎. Nous allons faire un peu de place et résoudre ces équations simultanées en procédant par élimination. En ajoutant les équations une et deux, nous pouvons éliminer 𝑇. Le membre de gauche devient 0,02744 et le membre droit 0,343𝑎. Nous pouvons diviser les deux côtés par 0,343 et nous obtenons que 𝑎 est égal à 0,08. L’accélération du système lorsqu’il est libéré est de 0,08 mètre par seconde au carrée.

Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur pour calculer la distance parcourue par le système pendant les sept premières secondes. Pour cela, nous allons utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré, aussi appelées équations de MRUA. Nous cherchons à déterminer le déplacement 𝑠. Nous savons que la vitesse initiale est de zéro mètre par seconde, que l’accélération est de 0,08 mètre par seconde au carré et que le temps nécessaire est de sept secondes. Nous allons utiliser l’équation 𝑠 égale 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. En remplaçant par nos valeurs, nous obtenons que 𝑠 est égal à zéro multiplié par sept plus un demi multiplié par 0,08 multiplié par sept au carré. Cela nous donne 1,96. La distance parcourue est donc égale à 1,96 mètres. Comme il y a 100 centimètres dans un mètre, cela équivaut à 196 centimètres.

Le système parcourt une distance de 196 centimètres pendant les sept premières secondes.

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