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Vidéo de question : Utilisation de la loi des sinus pour calculer la longueur d’un côté d’un triangle dans une figure composée Mathématiques

Sur la figure, 𝐵𝐶𝐷𝑌 est un rectangle et 𝐵 est un point sur la droite 𝐴𝐶. 𝐵𝐶 = 405 m, 𝑚∠𝐷𝐴𝐶 = 21° et 𝑚∠𝑌𝐴𝐶 = 59°. Déterminez la longueur de 𝐷𝐶 au mètre près.

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Transcription de vidéo

Dans cette figure, 𝐵𝐶𝐷𝑌 est un rectangle et 𝐵 est un point de la droite 𝐴𝐶. 𝐵𝐶 mesure 405 mètres, l’angle 𝐷𝐴𝐶 mesure 21 degrés et l’angle 𝑌𝐴𝐶 mesure 59 degrés. Calculez la longueur du segment 𝐷𝐶 ; arrondissez la réponse au mètre près.

Commençons par noter les informations de l’énoncé sur la figure. Comme 𝐵𝐶𝐷𝑌 est un rectangle, tous les angles à l’intérieur sont égaux à 90 degrés. On sait que 𝐵 est un point de la droite 𝐴𝐶. Par conséquent, l’angle 𝑌𝐵𝐴 mesure également 90 degrés. L’angle 𝐷𝐴𝐶 mesure 21 degrés. Et comme l’angle 𝑌𝐴𝐶 mesure 59 degrés, alors l’angle 𝑌𝐴𝐷 mesure 59 degrés moins 21 degrés. C’est égal à 38 degrés. Enfin, on nous dit que 𝐵𝐶 mesure 405 mètres, ce qui implique que 𝑌𝐷 mesure également 405 mètres.

La somme des angles d’un triangle étant égale à 180 degrés, l’angle 𝐴𝑌𝐵 mesure 31 degrés. On nous demande de calculer la longueur du segment 𝐷𝐶, qu’on a nommé 𝑥. Il y a plusieurs façons de le faire. Une façon est de diviser notre figure en deux triangles, 𝐴𝑌𝐷 et 𝐴𝐶𝐷. On sait qu’une des façons de calculer les côtés inconnus dans un triangle est d’utiliser la loi des sinus. D’après cette formule, 𝑎 sur sin 𝐴 égale 𝑏 sur sin 𝐵 égale 𝑐 sur sin 𝐶. En appliquant cette formule au triangle 𝐴𝑌𝐷, on a la longueur du côté 𝐴𝐷 divisée par sin de 121 degrés égale 405 divisé par sin de 38 degrés. En multipliant par sin de 121 degrés, on peut calculer la longueur du côté 𝐴𝐷. C’est 563,8695 et quelques. Comme ce n’est pas la réponse finale, on n’arrondira pas. Mais on sait que 𝐴𝐷 mesure 563,8695 mètres et quelques.

On peut maintenant considérer le triangle 𝐴𝐷𝐶. On pourrait utiliser de nouveau la loi des sinus car on connaît deux angles et un côté. Mais comme il s’agit d’un triangle rectangle, on peut simplement utiliser la formule du sinus, à savoir que le sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Le sinus de 21 degrés est égal à 𝑥 sur 563,8695 et quelques. En multipliant par le dénominateur, on obtient 𝑥 égale 202,0727 et quelques. On nous demande de répondre au mètre près. Comme le premier chiffre après la virgule est zéro, on arrondit par défaut. La longueur de 𝐷𝐶 mesure 202 mètres, au mètre près.

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