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Vidéo question :: Déterminer l’impulsion et la vitesse d’un corps formé par la collision de deux corps Mathématiques • Troisième année secondaire

Deux sphères lisses de masses 83 g et 37 g se déplacent en mouvement rectiligne. À l’instant 𝑡 secondes, où 𝑡 ≥ 0, les déplacements des sphères par rapport à un point fixe sont donnés respectivement par 𝐬₁ = [(165𝑡) 𝐜] cm et 𝐬₂ = [(−195𝑡) 𝐜] cm, où 𝐜 est un vecteur unitaire fixe. Sachant que les deux sphères entrent en collision et forment un seul corps, déterminez la vitesse 𝑣 de ce nouveau corps formé, et l’intensité de l’impulsion 𝐼 entre les sphères.

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Transcription de la vidéo

Deux sphères lisses de masses de 83 grammes et 37 grammes se déplacent en mouvement rectiligne. À l’instant 𝑡 secondes, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, les déplacements des sphères par rapport à un point fixe sont donnés respectivement par 𝐬 un est égal à 165𝑡 fois 𝐜 centimètres et 𝐬 deux est égal à 195𝑡 fois 𝐜 centimètres, où 𝐜 est un vecteur unitaire fixe. Sachant que les deux sphères entrent en collision et forment un seul corps, déterminez la vitesse 𝑣 de ce corps formé, et l’intensité de l’impulsion 𝐼 entre les sphères.

D’accord, nous pouvons donc voir qu’il s’agit d’une question à propos de la collision entre deux sphères. Une de ces sphères, que nous appellerons la sphère un, a une masse de 83 grammes. Et l’autre sphère, que nous appellerons la sphère deux, a une masse de 37 grammes. Maintenant, on nous dit dans la question que ces deux sphères entrent en collision et forment un seul corps. Et nous devons déterminer la vitesse de ce corps formé ainsi que l’impulsion qui est exercée entre les sphères lorsqu’elles entrent en collision. Pour ce faire, nous devons savoir exactement comment les sphères se déplacent lorsqu’elles se heurtent, et il s’agit là du véritable défi de cette question.

Les informations qui nous sont données sur le mouvement des deux sphères sont vraiment limitées à ces deux expressions. Celles-ci décrivent le déplacement de chaque sphère. Commençons par regarder l’expression qui décrit le déplacement 𝐬 un de la sphère un. Nous pouvons voir que le déplacement de la sphère un est donné par une constante 165 multipliée par le temps 𝑡 multipliée par un vecteur 𝐜. Et cela nous donne le déplacement mesuré en centimètres. Maintenant, la première chose que nous allons noter ici est que l’expression est une fonction linéaire de 𝑡. En d’autres termes, il contient un facteur de 𝑡. Cela signifie que le déplacement de la sphère est proportionnel au temps.

Ainsi, par exemple, lorsque le temps 𝑡 est égal à un, le déplacement de la sphère un est égal à 165 fois un fois 𝐜, c’est-à-dire 165𝐜. Lorsque le temps 𝑡 est égal à deux, son déplacement est égal à 165 fois deux fois 𝐜, c’est-à-dire 330𝐜. Et lorsque 𝑡 est égal à trois, le déplacement de 𝐬 un est égal à 165 fois trois fois 𝐜 ou 495𝐜. Nous pouvons donc voir que pour chaque seconde qui s’écoule, le déplacement de la sphère un augmente d’une quantité fixe, dans ce cas, de 165 fois le vecteur 𝐜. En d’autres termes, le facteur 𝑡 dans cette expression nous dit simplement que la sphère un se déplace à une vitesse constante.

Maintenant, la prochaine chose que nous pouvons remarquer à propos de cette expression est que le vecteur 𝐜 est un vecteur unitaire fixe. Cela signifie qu’il ne change pas avec le temps, et le fait qu’il s’agisse d’un vecteur unitaire signifie qu’il a une norme de un. Nous pouvons également dire que 𝐜 est un vecteur unitaire en utilisant la notation chapeau au lieu de la notation demi-flèche que nous utilisons pour les autres vecteurs. Maintenant, puisque 𝐜 est un vecteur unitaire de norme un, le facteur de 𝐜 dans cette expression ne change pas réellement la norme de l’expression. 𝐜 existe juste pour nous indiquer le sens vers lequel pointe le vecteur déplacement 𝐬 un. Donc, si nous disons que le vecteur unitaire 𝐜 pointe dans ce sens, par exemple, nous savons que pour chaque seconde qui s’écoule, la sphère un se déplace de 165 centimètres dans ce sens.

Alors maintenant, nous nous approchons de ce que cette expression signifie réellement. Nous avons montré que pour chaque seconde qui passe, le déplacement de la sphère un augmente de 165𝐜. Puisque 𝐜 a une valeur de un et que ces déplacements sont exprimés en centimètres, tout cela signifie simplement que la sphère un se déplace de 165 centimètres par seconde dans la direction de 𝐜. En regardant la question, on ne nous dit pas la direction réelle dans laquelle 𝐜 agit, ce qui signifie que nous sommes libres de dessiner ce vecteur unitaire pointant dans la direction que nous voulons dans nos diagrammes. Donc, pour nous faciliter la vie, disons que 𝐜 pointe horizontalement vers la droite.

Maintenant, regardons l’expression du déplacement de la sphère deux. Nous pouvons voir que l’expression pour 𝐬 deux suit un format très similaire à 𝐬 un. Elle se compose d’une constante multipliée par le temps 𝑡 multipliée par le vecteur unitaire 𝐜, et encore une fois, elle est mesurée en centimètres. Nous pouvons donc interpréter 𝐬 deux exactement de la même manière que nous avons interprétée 𝐬 un mais avec une différence cruciale. Dans 𝐬 deux, la constante est négative. Nous pouvons rappeler que la multiplication d’un vecteur par un nombre négatif donne un vecteur qui pointe dans le sens opposé. Donc, si le vecteur unitaire 𝐜 ressemble à ceci, alors moins 𝐜 ressemble à cela. Nous pouvons donc voir que la sphère deux se déplace à une vitesse constante, tout comme la sphère un. Mais elle se déplace dans le sens opposé, cette fois avec la vitesse de 195 centimètres par seconde.

Maintenant, la question commence à ressembler un peu plus à un problème de collision usuel. Nous avons deux sphères avec des masses différentes, et elles se rapprochent directement à des vitesses différentes. On nous dit également que lorsqu’elles entrent en collision, elles forment un seul corps. La masse de ce corps formé, que nous pouvons appeler 𝑚 𝑐, est égale à la somme des masses des sphères un et deux. Cela équivaut à 83 grammes plus 37 grammes, ce qui fait 120 grammes au total. On nous dit que ce corps formé se déplace avec une certaine vitesse 𝑣. Donc, pour l’instant, nous allons dessiner un vecteur vitesse agissant dans cette direction.

D’accord, maintenant ces deux diagrammes contiennent toutes les informations dont nous avons besoin pour résoudre le problème. Pour ce faire, nous utilisons le principe de la conservation de la quantité de mouvement. Il nous indique que, dans tout système isolé, la quantité de mouvement totale est constante. En d’autres termes, la quantité de mouvement initiale totale du système, que nous pouvons écrire 𝑝 𝑖, est toujours égale à la quantité de mouvement totale finale du système, notée 𝑝 𝑓. Nous pouvons utiliser cette équation avec le fait que la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par la vitesse pour trouver la réponse à ce problème.

Premièrement, nous pouvons écrire une expression pour la quantité de mouvement initiale totale du système. Cela équivaut à toute la quantité de mouvement dans le système avant la collision. Plus précisément, il est égal à la quantité de mouvement de la sphère un plus la quantité de mouvement de la sphère deux. Nous pourrions donc écrire que c’est égal à 𝑝 un plus 𝑝 deux. Maintenant, 𝑝 un, la quantité de mouvement de la sphère un, est égale à la masse de la sphère un, que nous pouvons appeler 𝑚 un, multipliée par la vitesse de la sphère un, que nous pouvons appeler 𝑣 un. Et 𝑝 deux est égal à la masse de la sphère deux multipliée par la vitesse de la sphère deux. Maintenant, ici, il est important de se rappeler que la quantité de mouvement et la vitesse sont des quantités vectorielles.

Dans ce premier diagramme que nous avons dessiné, nous avons déjà dessiné les vecteurs positifs agissant à droite et les vecteurs négatifs agissant à gauche. Nous devons donc garder cette convention à l’esprit pour résoudre le problème. En regardant cette expression, nous savons que 𝑚 un est égal à 83 grammes et 𝑣 un est plus 165 car il pointe dans le sens positif. Nous devons également nous rappeler que la vitesse de la sphère un est multipliée par le vecteur unitaire 𝐜. Nous ajoutons ensuite 𝑚 deux, soit 37 grammes, multiplié par 𝑣 deux, ce qui est moins 195𝐜. En simplifiant cette expression, 83 fois 165𝐜 est égal à 13 695𝐜 et 37 fois moins 195𝐜 est moins 7215𝐜. La soustraction du deuxième terme du premier terme nous donne 6480𝐜, qui est la quantité de mouvement initiale du système mesurée en grammes-centimètres par seconde.

La prochaine étape consiste à trouver une expression pour la quantité de mouvement finale du système, 𝑝 𝑓. Après la collision, nous n’avons qu’un seul objet formé avec une masse de 120 grammes et une vitesse inconnue de norme 𝑣, qui, nous l’avons supposé, agissait dans le sens positif. Cela signifie que la quantité de mouvement totale du système après la collision peut être exprimée comme 120 fois 𝑣. Et encore une fois, puisqu’elle agit dans la direction du vecteur unitaire 𝐜, nous allons inclure ce vecteur de 𝐜. Maintenant que nous avons des expressions pour la quantité de mouvement initiale et finale du système, nous sommes prêts à appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement. Cela nous permet d’assimiler directement la quantité de mouvement initiale et la quantité de mouvement finale, ce qui nous donne l’équation 6480𝐜 égale 120𝑣𝐜.

Nous pouvons simplifier les facteurs de 𝐜 des deux membres, puis trouver 𝑣 en divisant les deux membres de l’équation par 120. Cela nous donne 6 480 divisé par 120, de sorte que la vitesse de ce corps formé est de 54 centimètres par seconde. Nous devons noter que lorsque nous avons dessiné ce vecteur vitesse sur notre diagramme, nous ne savions pas vraiment dans quelle direction le corps formé se déplaçait. Au lieu de cela, nous avons simplement supposé qu’il se déplaçât dans le sens positif en utilisant une vitesse positive 𝑣𝐜 dans l’équation. Puisque cela a abouti à une réponse positive, cela signifie que notre hypothèse s’est avérée correcte, alors que si nous avions obtenu une valeur négative ici, nous saurions que 𝑣 a en réalité agi dans le sens négatif. De toute façon, la question ne nous demande que la vitesse du corps formé. Donc, pour notre réponse finale, nous prenons simplement la valeur positive de cette quantité, quelle que soit sa direction.

Maintenant que nous avons trouvé cette partie de notre réponse, la prochaine chose que nous devons faire est de trouver l’intensité de l’impulsion 𝐼 entre les sphères. Rappelons que l’impulsion équivaut à une variation de la quantité de mouvement. Nous pouvons l’exprimer avec l’équation 𝐼 égale Δ𝑝. Ainsi, quand un objet subit une impulsion d’une certaine taille, sa quantité de mouvement changera de cette quantité exacte. Il peut sembler un peu étrange de penser à l’impulsion entre les sphères. Habituellement, nous pensons à une impulsion exercée sur ou subie par un objet. Ainsi, lorsque nos sphères entrent en collision, elles subissent chacune une impulsion. La sphère un exerce une impulsion sur la sphère deux qui agit vers la droite, et la sphère deux exerce une impulsion sur la sphère un qui agit vers la gauche.

Alors, quelle est la valeur de l’impulsion entre les sphères ? Eh bien, tout comme avec les forces, chaque fois qu’un objet subit une impulsion, il exerce également une impulsion de même norme dans la direction opposée. Cette idée d’une réaction égale et opposée nous dit que l’impulsion exercée sur la sphère deux par la sphère un est exactement de la même norme que l’impulsion exercée sur la sphère un par la sphère deux. Ces deux impulsions ont donc la même intensité 𝐼 sur notre diagramme. Cela signifie que pour trouver la réponse à cette question, nous pouvons choisir de regarder l’impulsion ressentie par la sphère un ou l’impulsion ressentie par la sphère deux car elles ont la même intensité.

Dans ce cas, choisissons de calculer l’impulsion ressentie par la sphère un. Puisqu’une impulsion est égale à une variation de quantité de mouvement, l’impulsion que nous recherchons ici est simplement la variation de la quantité de mouvement de la sphère un. Et cela est égal à la quantité de mouvement finale de la sphère un, que nous appellerons 𝑝 𝑓 un, moins la quantité de mouvement initiale de la sphère un, que nous appellerons 𝑝 𝑖 un. Maintenant, parler de la dernière impulsion de la sphère un semble un peu étrange car après la collision, la sphère un fait partie d’un corps formé. Cependant, sa masse reste inchangée, et c’est la quantité de mouvement de cette masse qui nous intéresse. Donc, la quantité de mouvement final de la sphère un est égale à la masse de la sphère un, soit 83 grammes, multipliée par la vitesse du corps formé, que nous avons calculée comme étant de 54 centimètres par seconde, multipliée par le vecteur unitaire 𝐜.

La quantité de mouvement initiale de la sphère un est à nouveau égale à la masse de la sphère un, 83 grammes, mais cette fois multipliée par sa vitesse initiale, 165 centimètres par seconde, fois le vecteur unitaire 𝐜. 83 fois 54𝐜 se simplifie à 4482𝐜 et 83 fois 165𝐜 vaut 13 695𝐜. Et soustraire ces valeurs nous donne une impulsion de moins 9 213𝐜 grammes-centimètres par seconde.

Une dernière chose à noter est que la question nous demande simplement la valeur de cette quantité. Cela signifie que nous pouvons ignorer le signe moins et le vecteur unitaire 𝐜, car nous ne sommes pas intéressés par la direction. Nous avons donc complètement répondu à la question. Si deux sphères lisses entrent en collision comme décrit dans la question et fusionnent en un seul corps, la vitesse de ce corps formé 𝑣 est égale à 54 centimètres par seconde, et l’intensité de l’impulsion entre les sphères est de 9 213 grammes-centimètres par seconde.

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