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Vidéo de question : Déterminer l’Aire d’une Région Délimitée par des Fonctions Racines et Linéaires Mathématiques

Calculez l’aire du domaine délimité par les courbes d’équations 𝑦 = √ (𝑥 - 5) et 𝑥 - 3𝑦 = 3.

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Transcription de vidéo

Calculez l’aire du domaine délimité par les courbes d’équations 𝑦 égale racine carrée de 𝑥 moins cinq et 𝑥 moins trois 𝑦 égale trois.

Commençons cette question en esquissant rapidement ces fonctions afin de voir ce que nous faisons. Donc, l’aire délimitée par ces deux équations est cette aire ici. Eh bien, une chose que nous savons qui nous aidera est que nous pouvons trouver l’aire entre une courbe et l’axe des 𝑥 dans l’intervalle entre 𝑎 et 𝑏 en utilisant l’intégration. Mais dans ce cas, nous ne voulons pas toute l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥. Nous voulons l’aire située entre la droite et la courbe. Mais si nous pouvons calculer toute l’aire sous la courbe orange entre les points 𝑎 et 𝑏 et que nous pouvons calculer l’aire sous la droite rose entre 𝑎 et 𝑏, nous pouvons alors soustraire l’un de l’autre pour obtenir l’aire entre elles.

Mais quels sont ces deux points 𝑎 et 𝑏? Eh bien, nous savons que ce sont deux points où la courbe de 𝑦 égale racine carrée de 𝑥 moins cinq intersecte 𝑥 moins trois 𝑦 égale trois. Faisons cela en réarrangeant cette équation pour 𝑥 puis en la substituant dans cette équation pour 𝑦. En réarrangeant pour 𝑥, nous avons que 𝑥 est égal à trois 𝑦 plus trois. Et substituer cela à 𝑦 égale racine carrée de 𝑥 moins cinq nous donne 𝑦 égale racine carrée de trois, plus trois moins cinq, ce qui se simplifie en 𝑦 égale racine carrée de trois 𝑦 moins deux.

Nous résolvons donc cela pour trouver 𝑦. Nous devrions nous retrouver avec deux valeurs différentes de 𝑦. Et ce seront les valeurs 𝑦 des points d’intersection de la courbe et de la droite. À partir de là, nous pourrons utiliser la substitution pour trouver les valeurs 𝑥 des points d’intersection.

Commençons donc par mettre au carré les deux côtés de cette équation afin de résoudre pour 𝑦. Cela nous donne que 𝑦 au carré est égal à trois 𝑦 moins deux. Et en réarrangeant, nous avons que 𝑦 au carré moins trois 𝑦 plus deux égale zéro. Et nous voyons que nous avons un polynôme du second degré. Alors résolvons-le en par factorisation.

Nous pouvons factoriser cela en 𝑦 moins deux multiplié par 𝑦 moins un égale zéro. Et cela nous donne nos deux solutions 𝑦 égale deux et 𝑦 égale un. Remplaçons cela dans 𝑥 égale trois 𝑦 plus trois pour trouver les deux valeurs de 𝑥. Lorsque 𝑦 est égal à deux, nous constatons que 𝑥 est égal à neuf. Et lorsque 𝑦 est égal à un, nous constatons que 𝑥 est égal à six. Cela nous donne donc deux points d’intersection de la courbe et des droites en six et neuf. Donc, ce sont les deux valeurs entre lesquelles nous allons devoir intégrer.

Rappelez-vous, nous avons dit que nous allons devoir trouver l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥 d’une fonction et entre la droite et l’axe des 𝑥 pour l’autre fonction. Et nous pouvons alors les soustraire afin de trouver l’aire entre les deux. La première fonction est généralement la fonction supérieure, qui dans ce cas sera la courbe orange, qui est la courbe de 𝑦 égale racine carrée de 𝑥 moins cinq. Donc, la deuxième fonction va être la fonction 𝑥 moins trois 𝑦 égale trois. Mais nous allons devoir réorganiser cela pour être une fonction de 𝑥 en termes de 𝑦.

Donc, en réarrangeant, nous avons que trois 𝑦 est égal à 𝑥 moins trois de sorte que 𝑦 est égal à un tiers de 𝑥 moins un. Commençons par l’intégrale entre six et neuf de la racine carrée de 𝑥 moins cinq selon la variable 𝑥. Parce que c’est une fonction racine, intégrons-la en utilisant l’intégration par substitution. Si nous choisissons de faire la substitution 𝑢 égale 𝑥 moins cinq, alors la dérivation par rapport à 𝑥 nous donne que d𝑢 sur d𝑥 est égal à un.

Maintenant, bien que d𝑢 sur d𝑥 ne soit pas une fraction, nous la traitons un peu comme une fraction lorsque nous faisons une intégration par substitution. Donc, en réarrangeant, nous constatons que d𝑢 est égal à d𝑥. Cela signifie que nous pouvons échanger directement d𝑥 avec d𝑢. Alors, trouvons d’abord cette intégrale sans bornes, puis nous inclurons les bornes par la suite.

Nous commençons par écrire notre intégrale avec la substitution de sorte que notre intégrale soit l’intégrale de la racine carrée de 𝑢 d𝑢. Mais nous savons que nous pouvons réécrire la racine carrée de 𝑢 comme 𝑢 à la puissance un demi. Alors maintenant, nous intégrons 𝑢 à la puissance un demi par rapport à 𝑢. Nous savons que nous pouvons le faire en ajoutant un à la puissance pour obtenir la nouvelle puissance de trois sur deux, puis en divisant par la nouvelle puissance, donc en divisant par trois sur deux. Et pour le moment, nous n’avons aucune borne ici, nous ajoutons donc une constante d’intégration 𝐶.

Maintenant, diviser par trois sur deux revient à multiplier par deux sur trois. Nous pouvons donc réécrire ceci comme deux sur trois 𝑢 à la puissance trois sur deux plus 𝐶. Mais nous nous souvenons que nous posons 𝑢 égale 𝑥 moins cinq. Nous allons donc remplacer 𝑢 par 𝑥 moins cinq. Maintenant, ce que nous voulons réellement ici, c’est l’intégrale entre six et neuf de la racine carrée de 𝑥 moins cinq selon la variable 𝑥. Nous devons donc évaluer l’intégrale que nous avons trouvée, deux sur trois 𝑥 moins cinq à la puissance trois sur deux, avec les bornes six et neuf.

Notez que lorsque nous avons des bornes d’intégration, nous n’avons pas besoin de la constante d’intégration. Nous substituons donc 𝑥 par neuf puis nous substituons 𝑥 par six, et nous soustrayons. Nous pouvons alors simplifier le contenu des parenthèses. Et nous calculons ensuite cela comme étant 14 sur trois. Voilà donc l’intégrale entre six et neuf de la racine carrée de 𝑥 moins cinq selon la variable 𝑥.

Mais nous devons également trouver l’intégrale entre six et neuf de un tiers de 𝑥 moins un selon la variable 𝑥. Nous trouvons cette intégrale de la manière habituelle, terme par terme, en ajoutant un à la puissance et en divisant par la nouvelle puissance. Ainsi, un tiers de 𝑥 s’intègre en un tiers 𝑥 au carré sur deux. Nous savons aussi que l’on intègre 𝑥 selon la variable 𝑥. Nous devons donc évaluer un tiers de 𝑥 au carré sur deux moins 𝑥 entre six et neuf. Mais simplifions tout d’abord un tiers de 𝑥 au carré sur deux.

Eh bien, un tiers divisé par deux nous donne juste un sixième. Et nous pouvons alors substituer 𝑥 par neuf puis 𝑥 par six et soustraire. Cela nous donne 81 sur six moins neuf moins 36 sur six moins six. Et nous constatons que cela nous donne neuf sur deux. Nous avons donc trouvé que l’aire sous la courbe orange était de 14 sur trois et que l’aire sous la droite rose était de neuf sur deux.

Rappelez-vous, nous avons dit que pour trouver l’aire entre la courbe et la droite, nous devons les soustraire. Donc, l’aire entre les deux est égale à 14 sur trois moins neuf sur deux. Et cela nous donne juste un sur six.

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