Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Utilisation du théorème de la puissance d’un point pour une tangente et une sécante afin de trouver des longueurs inconnues Mathématiques

Un cercle a une tangente 𝐴𝐵 et une sécante 𝐴𝐷 qui coupe le cercle en 𝐶. Sachant que 𝐴𝐵 = 7 cm et 𝐴𝐶 = 5 cm, déterminez la longueur de 𝐶𝐷. Donnez votre réponse au centième près.

03:00

Transcription de vidéo

Un cercle a une tangente 𝐴𝐵 et une sécante 𝐴𝐷 qui coupe le cercle en 𝐶. Sachant que 𝐴𝐵 mesure sept centimètres et que 𝐴𝐶 mesure cinq centimètres, déterminez la longueur de 𝐶𝐷. Donnez votre réponse au centième près.

Commençons par noter sur la figure les informations fournies. On nous dit que 𝐴𝐵 mesure sept centimètres et que 𝐴𝐶 mesure cinq centimètres. Nous souhaitons trouver la longueur 𝐶𝐷. Les informations fournies sont la longueur d’une tangente et d’un segment d’une sécante à un cercle. Nous pouvons attaquer ce problème à l’aide du théorème sécante-tangente, qui est un cas particulier du théorème de la puissance d’un point. Le voici : Soit 𝐴 un point extérieur à un cercle et soient 𝐵, 𝐶 et 𝐷 des points sur le cercle tels que le segment 𝐴𝐵 soit un segment tangent et le segment 𝐴𝐷 soit un segment sécant. Alors, 𝐴𝐵 au carré est égal à 𝐴𝐶 multiplié par 𝐴𝐷.

Or, il s’agit exactement de la configuration que nous avons ici. Nous pouvons donc remplacer les valeurs connues. 𝐴𝐵 est égal à sept. Ainsi, du côté gauche de l’équation, nous avons sept au carré. 𝐴𝐶 est égal à cinq et nous ne connaissons pas la longueur de 𝐴𝐷. Nous avons donc l’équation sept au carré égale cinq multiplié par 𝐴𝐷. Nous pouvons à présent résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝐴𝐷. Celle-ci est très utile car 𝐶𝐷 est un segment de 𝐴𝐷.

La longueur de 𝐴𝐷 est égale à la longueur de 𝐴𝐶 plus la longueur de 𝐶𝐷. Nous savons déjà que la longueur de 𝐴𝐶 est cinq. Ainsi, si nous trouvons la longueur de 𝐴𝐷, nous pourrons alors déduire de cette équation la longueur de 𝐶𝐷. Revenons à notre première équation ; en calculant sept au carré, nous obtenons que 49 est égal à cinq multiplié par 𝐴𝐷. Nous pouvons alors diviser chaque côté de cette équation par cinq et nous obtenons que 𝐴𝐷 est égal à 49 sur cinq. Soit 9,8 sous forme décimale.

Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur pour la longueur de 𝐴𝐷 dans la deuxième équation, ce qui donne 9,8 égale cinq plus 𝐶𝐷. Pour en déduire 𝐶𝐷, il suffit de retrancher cinq de chaque côté. Nous obtenons que 𝐶𝐷 est égal à 4,8. Seulement, l’énoncé demande une réponse au centième près. Il faut donc ajouter un zéro comme deuxième décimale. Ainsi, grâce au théorème sécante-tangente, qui est un cas particulier du théorème de la puissance d’un point, nous avons obtenu que 𝐶𝐷 mesure 4,80 centimètres au centième près.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.