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Vidéo de question : Utiliser la loi des sinus pour calculer une longueur inconnue dans un triangle Mathématiques

A partir du point 𝐴 situé sur une rive, un homme a regardé une maison située de l’autre côté de la rivière au point 𝐵 et a constaté que la direction était de 39° au nord-est. Il a marché 147 m vers l’est parallèlement à la rivière et il est arrivé au point 𝐶 où le point 𝐵 se situait à 59° au nord-est. Sachant que les deux rives sont parallèles et que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 se situent au même niveau horizontal, calculez la largeur de la rivière en donnant la réponse au mètre près.

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Transcription de vidéo

A partir du point 𝐴 situé sur une rive, un homme a regardé une maison située de l’autre côté de la rivière au point 𝐵 et a constaté que la direction était de 39° au nord-est. Il a marché 147 m vers l’est parallèlement à la rivière et il est arrivé au point 𝐶 où le point 𝐵 se situait à 59° au nord-est. Sachant que les deux rives sont parallèles et que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 se situent au même niveau horizontal, calculez la largeur de la rivière en donnant la réponse au mètre près.

Cet énoncé contient beaucoup d’informations, mais on nous donne heureusement un diagramme qui résume la situation. On peut y voir les points 𝐴 et 𝐶 d’un côté de la rivière et le point 𝐵, qui représente la maison, de l’autre côté. L’angle de 39 degrés du point 𝐴 au point 𝐵 et l’angle de 59 degrés du point 𝐶 au point 𝐵 sont également indiqués sur le diagramme. On nous dit dans l’énoncé que ces deux angles sont mesurés depuis l’est vers le nord. Si on considère une boussole dont la direction nord correspond à la direction verticale sur notre écran, on peut voir que nos deux angles sont mesurés dans cette direction, vers le haut depuis la direction est. On nous donne également la distance entre les points 𝐴 et 𝐶, qui correspond à la distance de 147 mètres que l’homme a parcouru vers l’est parallèlement à la rivière.

On nous demande de calculer la largeur de la rivière, indiquée ici sur notre diagramme. On peut voir que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 forment un triangle. Mais aucun des côtés de ce triangle ne correspond à la largeur de la rivière. En revanche, si on trace la droite verticale qui passe par le point 𝐵 et coupe à angle droit l’extension du segment 𝐴𝐶 au point 𝐷, alors la longueur du segment 𝐵𝐷 correspond à la largeur de la rivière. On note cette longueur 𝑤 mètres et on remarque qu’elle correspond à la longueur d’un des côtés du triangle rectangle 𝐵𝐶𝐷.

Pour l’instant, tout ce qu’on sait de ce triangle est qu’il s’agit d’un triangle rectangle et qu’un de ses angles mesure 59 degrés. On pourrait calculer la mesure du troisième angle, mais on ne pourra pas aller plus loin tant qu’on ne connaîtra pas la longueur d’un côté.

Mais on remarque que le côté 𝐵𝐶 est partagé avec le triangle 𝐴𝐵𝐶. Et on connaît la longueur d’un des côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶. Le côté 𝐴𝐶 du triangle 𝐴𝐵𝐶 mesure 147 mètres. Donc on pourrait peut-être commencer par travailler dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 afin de déterminer la longueur du côté 𝐵𝐶. Considérons alors le triangle 𝐴𝐵𝐶, dont on sait que le côté 𝐴𝐶 mesure 147 mètres et l’angle 𝐵𝐴𝐶 39 degrés. On peut également calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 car il se trouve sur une même droite avec l’angle de 59 degrés. Et on sait que la somme des mesures de deux angles sur une droite est égale à 180 degrés. Donc l’angle 𝐴𝐶𝐵 mesure 180 moins 59 degrés, soit 121 degrés.

On peut maintenant calculer la mesure du troisième angle de notre triangle 𝐴𝐵𝐶. La somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Donc l’angle 𝐴𝐵𝐶 mesure 180 moins 39 moins 121 degrés, soit 20 degrés. On connaît maintenant les mesures des trois angles du triangle 𝐴𝐵𝐶 ainsi que la longueur d’un de ses côtés. On veut déterminer la longueur d’un autre côté de ce triangle, le côté 𝐵𝐶, et on peut utiliser pour cela la loi des sinus.

D’après la loi des sinus, dans tout triangle 𝐴𝐵𝐶 où 𝐴 majuscule, 𝐵 majuscule et 𝐶 majuscule représentent les mesures des trois angles et où 𝑎 minuscule, 𝑏 minuscule et 𝑐 minuscule représentent chacun la longueur du côté opposé à l’angle portant la lettre correspondante, on a que 𝑎 sur le sinus de 𝐴 est égal à 𝑏 sur le sinus de 𝐵, qui est égal à 𝑐 sur le sinus de 𝐶. Le côté de 147 mètres est opposé à l’angle de 20 degrés tandis que le côté dont on veut calculer la longueur, 𝐵𝐶, est opposé à l’angle de 39 degrés.

Donc, en utilisant la loi des sinus, on peut former une équation à partir de ces informations. On a 𝐵𝐶 sur sinus de 39 degrés égale 147 sur sinus de 20 degrés. Pour résoudre cette équation et obtenir la longueur de 𝐵𝐶, il suffit de multiplier par le sinus de 39 degrés des deux côtés. Cela nous donne 𝐵𝐶 égale 147 fois le sinus de 39 degrés sur le sinus de 20 degrés. On utilise notre calculatrice en mode degré pour évaluer cela et on obtient un résultat de 270,481 et ainsi de suite. Gardons cette valeur exacte affichée sur l’écran de notre calculatrice.

On connaît maintenant la longueur du côté 𝐵𝐶, qui ne l’oublions pas, est partagé avec le triangle 𝐵𝐶𝐷. En considérant à nouveau le triangle rectangle 𝐵𝐶𝐷, on constate qu’on connaît à présent la longueur d’un côté en plus des mesures de tous les angles. Donc on peut utiliser la trigonométrie pour calculer la longueur du côté 𝐵𝐷 et ainsi déterminer la largeur de la rivière.

Par rapport à l’angle de 59 degrés, 𝐵𝐷 est le côté opposé, 𝐶𝐷 le côté adjacent et 𝐵𝐶 l’hypoténuse. On connaît la longueur de l’hypoténuse et on cherche à calculer la longueur du côté opposé. En nous remémorant l’acronyme SOH CAH TOA, on peut voir que le rapport trigonométrique dont on a besoin pour résoudre notre problème est le sinus.

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle thêta est défini comme la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. En remplaçant thêta par 59 degrés, le côté opposé par 𝑤 et l’hypoténuse par notre valeur exacte commençant par 270,481, on obtient que le sinus de 59 degrés est égal à 𝑤 divisé par notre valeur commençant par 270,481. Pour déterminer 𝑤, on multiplie les deux membres de l’équation par notre dénominateur commençant par 270,481. Et comme on avait gardé cette valeur exacte affichée sur notre calculatrice, il nous suffit de la multiplier par le sinus de 59 degrés pour obtenir la valeur exacte de 𝑤. On obtient un résultat de 231,84 et ainsi de suite.

Mais n’oublions pas qu’on nous demande dans l’énoncé de donner notre réponse au mètre près. Donc on doit arrondir à l’entier le plus proche, et comme le premier chiffre après la virgule est huit, on doit arrondir à l’entier supérieur.

Donc, en utilisant tout d’abord la loi des sinus dans un triangle quelconque, puis l’expression du sinus dans un triangle rectangle, on a calculé que la largeur de la rivière au mètre près est de 232 mètres.

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