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Vidéo de question : Application du principe de Cavalieri Mathématiques

Deux figures tridimensionnelles sont se trouvent entre deux plans parallèles. Tout autre plan parallèle aux deux plans croise les deux figures en des sections de même aire. Que pouvez-vous en déduire sur ces deux solides ?

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Transcription de vidéo

Deux solides sont placés entre deux plans parallèles. Tout autre plan parallèle aux deux plans coupe les deux solides en des sections de mêmes aires. Que peut-on en déduire sur ces deux solides ?

Bien, alors on sait qu’on a deux solides en trois dimensions. Et on sait que ces solides se situent entre deux plans parallèles. On sait aussi que tout autre plan parallèle à ces deux plans coupe ces deux solides en des sections d’aires égales. Alors prenons un troisième plan comme celui-ci parallèle aux deux premiers. Les intersections bidimensionnelles entre ces deux solides tridimensionnels et ce plan ont chacune la même aire. C’est difficile à voir sur ce croquis en deux dimensions. Mais on peut imaginer que ces deux régions hachurées en rose ont la même aire.

D’après l’énoncé, c’est la même chose pour tout plan parallèle aux deux premiers. Il coupe les deux solides en formant des régions d’aires égales. À partir de ça, on veut savoir ce qu’on peut en déduire concernant ces deux solides.

Imaginons qu’il y ait un plan parallèle aux deux premiers et qu’on le déplace à travers ces solides. Ce faisant, à chaque instant, les sections de l’intersection de ces deux solides avec le plan ont chacune la même aire. Une fois que ce plan aura entièrement traversé les deux solides, si on additionne toutes les aires des sections du premier solide, cette somme sera égale à la somme des aires totale des sections du deuxième solide. Il en résulte que ces deux solides ont le même volume.

Cette conclusion, d’après ce scénario, est une confirmation d’un principe mathématique appelé le principe de Cavalieri. Ici, nous avons vu ce principe appliqué à ces deux solides.

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